60. Обменные эффекты при кулоновском рассеянии.

Если две тождественные заряженные частицы рассеивают друг друга, то полученное выше кулоновское поперечное сечение должно быть изменено из-за влияния обменных эффектов. Рассмотрим, например, рассеяние -частиц друг на друге. Полный спин частиц равен нулю, и поэтому волновая функция симметрична. (Симметрия волновой функции следует из того, что каждая -частица состоит из двух нейтронов и двух протонов. Следовательно, когда две частицы обмениваются местами, то при этом обмениваются одновременно четыре элементарные частицы. Волновая функция умножается на поэтому в результате такого обмена она становится симметричной.)

При построении подходящей симметричной волновой функции заметим, что из любого решения уравнения Шредингера для двух эквивалентных частиц получается другое решение в результате обмена местами и Искомая симметричная функция будет тогда равна При столкновении двух частиц волновая функция имеет вид (см. гл. 15, п. 5). Тогда симметричная волновая функция равна

Экспоненциальный множитель относится к однородному движению центра масс, в то время как другой множитель является функцией только относительных координат. Следовательно, волновая функция в относительных координатах может быть найдена, если в функции положить

Из уравнения (21.106) мы получаем, учитывая, что при замене на нужно изменить 0 на :

Эта волновая функция соответствует падению одной из частиц справа, а другой — слева относительно центра инерции системы. Мы получаем поперечное сечение так же, как и в случае уравнения (21.45а), из отношения рассеянного тока, рассчитанного по единице телесного угла, к падающему току, проходящему через единицу площади. Заметим, что на этот раз волновая функция не делится на при ее симметризиции, так как мы хотим нормировать к падающий ток для каждой частицы на единицу площади. Поперечное сечение равно

Здесь относительная масса относительная энергия. Из уравнения (21.101а) окончательно получаем

Первые два члена в этом выражении такие же, какие получились бы в классической теории для тождественных частиц Третий член обусловлен явлением интерференции, и он целиком специфически квантовый. Это выражение впервые получил Мотт, и поэтому оно называется формулой рассеяния Мотта.

Для таких частиц, как электроны или протоны, которые имеют антисимметричные полную пространственную и спиновую волновые функции, надо учесть, что пространственная волновая функция 1/4 времени симметрична и 3/4 времени антисимметрична (см. гл. 17, п. 10). Тогда получаем

Специфические «обменные» эффекты оказываются наибольшими при в лабораторной системе координат). При этом значении угла обменные эффекты для -частиц обусловливают вдвое большее поперечное сечение, чем то, которое получается, если пренебречь этими обменными эффектами.

Добавочные интерференционные члены, соответствующие моттовскому рассеянию, целиком согласуются с данными эксперимента (см. [28], стр. 73). Заметим, однако, что в классическом пределе обменный член становится очень быстро колеблющейся функцией 6, которая при усреднении дает нуль. Таким образом, если измерения допускают ошибку то, по мере того как можно считать все меньшим, эффект обменных членов становится слишком малым, чтобы его можно было наблюдать. Поэтому обменные эффекты и являются по существу квантовомеханическими и исчезают в классическом пределе (см. гл. 19, п. 29).

Примечание редактора к гл. 21

В связи с этим также следует заметить, что объективная природа тождественности частиц проявляется в особых, специфических для них свойствах, которые отсутствуют для совокупностей различных частиц. К сожалению, иногда абсолютизируют момент тождественности («принципиальной неразличимости») и отсюда приходят к агностицизму. По существу же здесь никакого агностицизма нет, ибо квантовая механика открыла новые объективные свойства материи, связанные с системами одинаковых частиц (например, явления обмена и т. п.), которые не могли быть учтены в более грубой классической теории.