6. Измерение спина атома.

В качестве примера рассмотрим прежде всего частный случай, когда измеряется -компонента момента количества движения атома, проекция которого равна

Рис. 116.

Исследуемая система имеет только два возможных состояния, которые мы обозначим соответственно через Спин будет измеряться по схеме опыта Штерна — Герлаха, показанной на рис. 116 (см. также гл. 14, п. 16).

Предположим, что отклонение атома неоднородным магнитным полем происходит мгновенно. Это означает, что смещением атома

в направлении оси в области неоднородного поля можно пренебречь. Тогда сила, действующая со стороны магнитного поля, придает частице импульс, который направлен вверх или вниз в зависимости от того, будет ли спин направлен вверх или вниз. После того, как частица покидает поле, результирующая сила, действующая по оси вызывает отклонение, которое зависит от спина. Таким образом, довольно грубое наблюдение положения позволяет нам определить, направлен ли спин вверх или вниз.

Энергия взаимодействия в этой задаче имеет вид (см. уравнение

где

В плоскости симметрии, вдоль которой падает пучок, поле направлено по оси . В первом приближении можно написать где Тогда

В этом случае положение атома есть координата аппаратуры, так как, определяя мы можем найти величину спина. Можно считать, что измерительной аппаратурой является комбинация неоднородного магнитного поля, координаты атома и экрана детектора. Магнитное поле в данном случае вводит связь между атомным спином и координатой аппаратуры.

Прежде чем атом попадает в магнитное поле, необходимо, чтобы он был в совершенно определенном состоянии. В противном случае из этого опыта нельзя будет извлечь никаких заключений о величине Примем, что зависимость волновой функции атома от выражается в виде пакета, который обозначим через Согласно координата аппаратуры должна быть описываема классически. Следовательно, состояние атома определяется значительно менее точно, чем это допускается соотношением неопределенностей, т. е.

Заметим, что диагональны в одинаковом представлении. Это означает, что в опыте Штерна-Герлаха измеряется компонента

спина без изменения (при этом изменяются неконтролируемым путем).

Начальная волновая функция системы будет тогда

где спиновые функции, относящиеся соответственно к и - неизвестные коэффициенты.

Пока имеет место взаимодействие, волновую функцию можно разложить по двум возможным спиновым волновым функциям, причем коэффициенты, как и в уравнении (22.76), будут функциями Тогда

а уравнение Шредингера принимает вид

или

Так как коэффициенты при и в обеих частях уравнения должны быть по отдельности равны между собой, то

Начальные условия при

Уравнения (22.136) легко интегрируются. Решения, удовлетворяющие правильным начальным условиям, имеют вид

и

Мы подошли теперь к задаче определения времени в течение которого имело место взаимодействие. Это, очевидно, то время, которое частица провела в магнитном поле. Строго говоря, его нельзя определить точно, потому что надо построить волновой пакет по оси х и время, в течение которого этот пакет проходит данную точку, неопределенно в пределах Однако если выбрать размер области поля I большой по сравнению с расстоянием между полюсными наконечниками, то ошибка во времени, обусловленная шириной волнового пакета, делается ничтожной. Тогда движение по оси х можно трактовать как классическое и сказать, что поле действует в течение времени где скорость по оси х. Так как определение спина не очень чувствительно к точной оценке то такая процедура достаточна для нашей цели. С другой стороны, движение по оси совершенно очевидно связанное со спином энергией должно трактоваться квантово-механически, потому что мы ищем квантовомеханическое описание того, что происходит в течение измерения.

После того, как частица пройдет через магнитное поле, волновую функцию надо получить из уравнения (22.156), положив Заметим, что умножаются на фазовые множители противоположных знаков. Фазовый множитель показывает, что если спин положителен, то изменение импульса равно а множитель при означает, что если спин отрицателен, то частица получает точно противоположный импульс. Следовательно, в принципе возможно измерить спин по импульсу, переданному частице магнитным полем. Однако в этом опыте удобнее определить импульс косвенно, измеряя расстояние, которое проходит частица за время, необходимое для достижения удаленного экрана. Поэтому надо проследить движение волнового пакета после того, как частица покидает поле. Для этого разлагаем в интеграл Фурье начальный волновой пакет, написав

где пакет с центром в Непосредственно после того, как частица покидает поле,

компонента Фурье части волновой функции с положительным спином будет теперь колебаться с угловой частотой часть с отрицательным спином — с частотой Тогда волновая функция имеет вид

Центр волнового пакета находится там, где фаза имеет экстремальное значение или где

Таким образом, волновая функция разбивается на два пакета, которые движутся в различных направлениях, в зависимости от того, будет ли спин положителен или отрицателен.

В опыте Штерна-Герлаха возможно измерить спин, если импульс полученный частицей в магнитном поле, намного больше, чем первоначальная неопределенность импульса пучка. Если это требование не удовлетворяется, то естественное расплывание волнового пакета частицы будет достаточно велико, чтобы замаскировать отклонение, зависящее от спина. Поэтому мы должны потребовать, чтобы выполнялись неравенства

Таким образом, мы определили минимальное значение произведения необходимое, чтобы связь, вносимая измерительной аппаратурой, была достаточно велика для возможности проведения точного измерения. При идеальных условиях где ширина пакета. Однако мы видели, что на практике пакет всегда значительно шире (в пространстве импульсов), чем минимальная ширина, допускаемая для данного соотношением неопределенностей.

После того, как пакет покидает магнитное поле, он начинает расплываться. Минимальная ширина пакета, конечно, ограничена соотношением неопределенностей, но в любом случае пакет расплывается по крайней мере до величины за то время, пока он достигнет экрана-детектора (о расплывании волновых пакетов см. гл. 3, п. 5 и гл. 10, п. 8).

Это расплывание будет добавляться к первоначальной ширине пакета, когда он проходит между полюсами магнита. Но если удовлетворено условие (22.19), то среднее расстояние, проходимое каждым пакетом (см. уравнения (22.18)), будет гораздо больше, чем флуктуации, возникающие на этом расстоянии, поэтому первоначальное отсутствие полной определенности ширины пучка не может явиться препятствием для получения достаточно точных измерений спина.

На рис. 117 показана общая форма пакетов в пространстве импульсов и в пространстве координат, когда частица достигает экрана-детектора.

Рис. 117.

Теперь ясно, что даже если положение и импульс пучка определены только с классической степенью точности, то всегда можно сделать произведение настолько большим, что получается классически описываемое разделение между пучками соответственно для положительных и отрицательных спинов. Итак, мы достигли нашей цели и свели теорию измерения спина к описанию соотношения между состоянием исследуемой квантовой системы и состоянием классически описываемой части измерительной аппаратуры.