14. Эрмитовские операторы.
Чтобы исключить из рассмотрения такие сложные средние значения для величин, которые в основе своей вещественны, мы потребуем, как уже было установлено, вещественности определяемого среднего значения при произвольной функции 
Если 
- рассматриваемый оператор, то мы требуем равенства его среднего значения О своему комплексно сопряженному. По определению, имеем
Для нахождения комплексно сопряженного от О берем комплексно сопряженные от всех частей интеграла в (9.12). Следовательно, требование вещественности эквивалентно следующему условию:
Оператор О означает комплексно сопряженный оператору О. 
пример, для оператора 
получаем 
операторы, удовлетворяющие условию (9.13), называются эрмитовскими.
Легко показать, что 
эрмитовский оператор. Для этого пишем
Интегрирование по частям и исчезновение внеинтегрального члена дает
Мы видим, что 
равно своему комплексно сопряженному, и следовательно, 
является эрмитовским оператором.
Задача 6. Показать, что 
следовательно, 
являются эрмитовскими операторами при условии вещественности всех 
Показать, что если любое из 
комплексное, то 
неэрмитовский оператор.
Задача 7. Показать, что 
эрмитовский оператор, если 
и все 
вещественны. Показать, что если любое из 
комплексное, то 
неэрмитовский оператор.
Задача 8. Показать, что если не стремится к нулю при 
то оператор 
обязательно эрмитовскии.
Из задач мы видим, что требование вещественности средних значений автоматически удовлетворяется для любой вещественной функции от х или от 
. С другой стороны, оно не обязательно удовлетворяется для функций, зависящих одновременно от 
Покажем, что для удовлетворения условия вещественности в общем случае необходимо брать среднее из двух возможных порядков сомножителей, в каких могут появляться 
в произведении. Рассмотрим, например,
Интегрирование по частям 
дает (внеинтегральный член исчезает) — 
в то время как интегрирование 
дает 
Итак, мы получаем
Следовательно, мы доказали, что 
равно своему комплексно сопряженному и, следовательно, оператор эрмитовский.
Задача 9. Доказать, что оператор 
эрмитовский, если все 
вещественны.
