5. Математическое выражение для средних величин.

Теперь применим математический аппарат, который наиболее точным путем отражает вышеуказанные положения. Начнем с вопроса о получении выражений для различных важных физических величин.

Среднее значение функции координат. Среднее значение х, по определению, должно быть равно

Так как мы видели, что

то можно написать

Величина х должна быть поставлена между по мотивам симметрии в. написании формул, смысл которой будет выяснен ниже.

Подобным образом средние значения любой функции от х могут быть выражены как

Можно непосредственно обобщить этот аппарат на три измерения

где элемент объема.

Далее для краткости мы будем везде ограничиваться одномерной записью, так как во всех случаях будет такж; прост переход к трем измерениям.

Среднее значение функции импульса. Среднее значение импульса равно

где нормированная компонента Фурье функции

В гл. 4 и 10 было показано, что если нормирована, то тоже автоматически нормирована, т. е.

Однако часто удобно вводить функции которые нормированы, так что

Это условие удовлетворяется, если принять

Задача 1. Доказать вышеуказанное утверждение.

Для любой функции импульса среднее значение дается выражением

Кришрий пригодности волновых функций. Основное условие, которому должна удовлетворять любая функция заключается в том, что квадрат ее модуля должен быть интегрируем, т. е.

Если это условие не соблюдается, то нельзя даже нормировать вероятность, т. е. через волновую функцию невозможно представить средние значения наблюдаемых физических величин. Поэтому необходимое (но не достаточное) требование к заключается в следующем: при и при

Однако можно получить более строгие физические требования из необходимости существования средних значений всех наблюдаемых физических величин. Очевидно, что наблюдаемые физические величины, поэтому должны существовать их средние значения. Кинетическая энергия тоже наблюдаемая величина. Поэтому мы можем задать условие для волновой функции, что должен сходиться интеграл Тогда необходимым (но не достаточным) условием для является при рели известно, что существуют потенциальные энергии в виде

также необходимо существование Повторяем, что во всех случаях, когда известна физическая важность данной функции, мы требуем от всех подходящих волновых функций существования среднего значения этой величины.

В дальнейшем мы увидим, что практически для всех обычно встречающихся волновых функций существует где произвольное положительное число.

Дальнейшие ограничения для поведения приемлемых волновых функций будут получены в следующем пункте этой главы.