6. Приближение ВКБ, зависящее от времени, в трехмерном случае.

По аналогии с одномерным случаем можно записать

Трехмерное временное уравнение Шрёдингера имеет вид

Уравнение для принимает вид

Записав

получаем

Первое из этих уравнений известно в классической механике как уравнение Гамильтона — Якоби [3]. Оно определяет функцию действия, обозначенную выше через . Записав получим

Это есть трехмерное обобщение уравнения для функции полученной в уравнениях (12.21).

Смысл уравнения (12.30) также легко понять. Прежде всего запишем

Затем заметим, что ток вероятности равен

Так как есть также где означает скорость, то имеем

Поэтому пишем

При таких заменах уравнение (12.30) принимает вид

или

Последнее уравнение означает, что изменение вероятности в данной области вызывается некомпенсированным током вероятности Следовательно, в рамках приближения ВКБ вероятность может рассматриваться в чисто классическом смысле, так как классическое распределение вероятности будет также иметь ток вероятности