49. Вычисление фазы для непроницаемой сферы.

Для непроницаемой сферы радиуса а мы должны иметь на ее поверхности. Для -волн дифференциальное уравнение вне сферы будет иметь вид Решение равно

Чтобы при должно быть Тогда парциальное поперечное сечение рассеяния для -волн будет

Для больших значений моментов количества движения решения будут иметь вид

(Заметим, что так как начало координат теперь исключено, то функции должны сохраняться.) Граничные условия при дают

Фаза может быть вычислена из асимптотической формы волновой функции (см. выражение (21.70)). Для больших

где

Частный случай Если длина волны настолько велика, что то легко видеть, что значения для последовательно возрастающих I быстро становятся очень малы. Это происходит потому, что частицы с данным моментом количества движения I будут сильно рассеиваться только в том случае, если они достигают области, занятой потенциалом, или если только или (см. п. 44). Это можно также показать непосредственно, вычисляя из полученной выше формулы.

Задача 12. Используя ряды для разложения функций Бесселя [58], вычислить для малых и показать, что

Таким образом, для малых поперечное сечение почти полностью обусловлено -волнами. Следовательно, можно пользоваться уравнением (21.82а). Разлагая в ряд, получаем из этого уравнения

Заметим, что этот результат в четыре раза больше классического результата для твердой сферы (уравнение Такое увеличение вызвано квантовомеханическими дифракционными эффектами.

Рис. 112.

Интересно проследить переход от квантового к классическому рассеянию, так как при таком переходе поперечное сечение должно скачком изменить свое значение от до Квантовое рассеяние осуществляется при т. е. когда Если же длина волны становится меньше размеров сферы, то прежде всего это сказывается на том, что приходится считаться с волнами с большими моментами количества движения, поэтому поперечное сечение становится зависящим от угла. Однако если дальше укорачивать длину волны и приближаться к классической области, то поперечное сечение опять становится сферически симметричным, но оно будет уже равно только за исключением области вблизи с угловой шириной порядка Полярное распределение интенсивности показано для случая больших X на рис. 112. Большая проекция, выступающая вреред, в основном обусловлена дифракционными эффектами, содержащими полное поперечное сечение, равное

Следовательно, для очень коротких длин волн полное поперечное сечение равно в противоположность величине полученной для очень больших длин волн. Однако в классическом пределе длина волны становится настолько короткой, что большая проекция для рассеяния вперед соответствует слишком малым отклонениям, чтобы приводить к заметным результатам. Следовательно, для всех практических целей эффективное классическое поперечное сечение равно только

Задача 13. Для сферы радиуса 1 см и электронов с энергией вычислить ширину дифракционных полос в направлении вперед и показать, что она слишком мала для того, чтобы представлять практический интерес. (Надо пользоваться принципом Гюйгенса, как в оптике).