29. Неразличимость эквивалентных частиц.
В классической физике есть две возможности различать частицы. Прежде всего, можно пользоваться тем, что различные частицы оказывают различное действие. Следовательно, они могут по-разному отражать или рассеивать свет или по-разному реагировать на электрические и магнитные силы. Для того чтобы «отметить» частицу по этому признаку, надо воспользоваться по крайней мере одним свойством, которое характерно именно для данной частицы. Так как все действия частицы определяются гамильтонианом, то надо потребовать, чтобы, по крайней мере в некоторых отношениях, гамильтонианы различных частиц были различны.
Если пара частиц полностью эквивалентна, т. е. если каждая из них имеет одну и ту же форму гамильтониана во всех случаях, то этот способ «отметки» уже непригоден для различения частиц. Однако в классической физике еще можно различать частицы, пользуясь свойством непрерывности их траекторий, потому что это
свойство дает возможность наблюдателю проследить за каждой частицей в отдельности.
В квантовой теории задача различения эквивалентных объектов (типа электронов) значительно сложнее, главным образом из-за волновых свойств материи. Даже если не обращать внимания на ограничения, вытекающие из свойств антисимметрии - волновых функций, то не всегда возможно отличить электрон, следуя, например, вдоль его траектории, просто потому, что каждому электрону соответствует волновой пакет конечной ширины. Если эти пакеты перекрываются, то невозможно отличить данный электрон по его траектории. Несмотря на это, если электроны обладают неодинаковыми волновыми функциями, то оказывается возможным различать их по некоторому свойству, отличному от их положения в пространстве, например по импульсу, моменту количества движения или какому-нибудь другому наблюдаемому свойству.
Однако мы сейчас покажем, что если наложить ограничение на волновые функции, потребовав их полной антисимметричности или полной симметричности, то теряет всякий смысл даже само определение различия отдельных электронов. Предположим, например, что мы рассматриваем такой случай, когда первый электрон занимает область пространства вблизи точки 
с волновым пакетом 
а второй расположен около точки 
с волновым пакетом 
Суммарная волновая функция всей этой системы равна
С другой стороны, соответствующая антисимметричная волновая функция имеет вид
Однако если волновая функция антисимметрична, то не следует приписывать каждый электрон определенному (но неизвестному) пакету, отличному от пакета другого электрона (см. п. 18), потому что существенные физические свойства системы могут зависеть от интерференции между функциями, представляющими состояния, в которых эти два электрона соответственно обменялись местами. Следовательно, плотность вероятности для системы имеет вид
Первые два слагаемых в выражении (19.57) представляют собой «классическую вероятность», а остальные характеризуют эффекты
квантовомеханической интерференции. В той мере, в какой эти интерференционные эффекты существенны (например, при определении «обменной энергии», описанной в п. 19), мы не можем считать, что каждый электрон может быть отличен от другого. Так как интерференционные свойства характерны для волновых свойств материи (см. гл. 6), то их можно лучше понять, если описывать двухэлектронную систему как нечто, характеризуемое волной в шестимерном пространстве, чем как пару отдельных частиц. Конечно, если система когда-либо будет вынуждена взаимодействовать с аппаратурой, в результате чего обнаруживаются обе частицы по отдельности, то волновая функция перестанет быть полностью антисимметричной (см. п. 20), и мы тогда сможем различать оба электрона. Следовательно, такая аппаратура давала бы возможность выявить те потенциальные возможности в системе (см. гл. 6, 8 и гл. 16, п. 25), которые обнаруживали бы меньшее сходство с шестимерной волной и большее сходство с парой индивидуальных частиц. Но так как электроны тождественны при всех взаимодействиях, то эти потенциальные возможности могут быть никогда не реализованы, так как требуемая для этого аппаратура фактически не может быть сконструирована.
Отсюда следует, что в состояниях с полностью симметричной или антисимметричной волновой функцией электроны не могут быть различимыми, так как они никогда не действуют как отдельные и индивидуальные объекты, которые в принципе можно было бы различить. В качестве примера, иллюстрирующего это свойство, можно рассмотреть обмен местами совокупностей независимых переменных для двух электронов. При этом получается та же самая волновая функция, только со знаком минус, так что квантовое состояние системы при таком обмене не изменяется. С другой стороны, если электроны были бы отдельными и различимыми объектами, то в результате такого обмена можно было бы получить новое квантовое состояние. В действительности для волновой функции (19.55) обмен переменных электронов приводит к новому квантовому состоянию. Невозможность с помощью обмена переменных частицы создать новое квантовое состояние приводит к важным следствиям в статистической механике [15]: к статистике Бозе-Эйнштейна для частиц с полностью симметричными волновыми функциями и статистике Ферми — Дирака для частиц с полностью антисимметричными волновыми функциями.
