18. Связь между собственными функциями оператора х в координатном пространстве и в пространстве импульсов.

Возникает вопрос, имеется ли связь между плоской волной — собственной функцией оператора х в пространстве импульсов и -функцией — собственной функцией оператора х в координатном пространстве? На этот вопрос следует ответить положительно. Это можно показать двумя способами. Вычисляя компоненту Фурье для -функции в координатном пространстве, получаем

Это согласуется с предыдущим выводом, полученным из определения оператора х в пространстве

Другой способ решения заключается в задании волновой функции и нахождении по ней функции Используя для -функции

величину из уравнения (10.43), находим

Этот интеграл не существует в обычном смысле. Однако можно найти его предел, если пределы интегрирования стремятся к бесконечности

График дан на рис. 27, достигает максимума при и начинает быстро убывать при колеблясь с периодом Основной вклад в интеграл получается от узкого интервала вблизи

Рис. 27.

При область, в которой функция велика, становится все уже и уже, и поэтому функция приобретает характер -функции. Следовательно, можно записать

Полученный результат является попросту интегральной теоремой Фурье (см. гл. 3, п. 17). Итак, ясно, что при рассмотрении как -функции, теорема об интеграле Фурье становится частным случаем применения -функции.