11. Сложение орбитального и спинового моментов частицы.

Следующая задача, которую мы рассмотрим, будет касаться вопроса о сложении орбитального и спинового моментов данной частицы. Если имеется частица с заданными то волновая функция принимает вид

где — одна из двух спиновых функций, определяемых выражениями (17.24). Очевидно, что

Следовательно, в этом представлении диагонально. Поэтому представляем вышеприведенную волновую функцию в виде

Чтобы было также диагонально, должно выполняться

Для этого необходимо получить собственные функции оператора которые построены из функций, соответствующих определенному значению

Матрицу можно записать следующим образом:

Удобнее записывать волновую функцию в виде вектора-столбца, компоненты которого являются функциями

Для собственных функций с собственным значением X получаем

Наши уравнения принимают вид

Из уравнений (17.3) следует, что

Если выбрать то можно удовлетворить этим двум уравнениям, поскольку в соответствии с (17.10) и (17.11) имеем

Мы здесь для удобства воспользуемся квантовым числом от, поскольку предыдущие результаты связаны с операциями над шаровыми функциями, которые выражены через Однако в данном случае надо помнить, что число от определяется через квантовое число наблюдаемой величины

Получающиеся функции, как правило, не будут собственными функциями

Тогда уравнения (17.66) переходят в (при

Уравнение для определения X имеет вид

Оно сводится к

Решениями этого уравнения являются или Подстановка этих значений X в уравнение (17.62) дает

где относятся соответственно к собственным значениям Вводя обозначение

для обоих случаев получаем

Итак, мы приходим к выводу, который согласуется с выводом, получающимся из векторного правила, а именно, что значения равны

Собственные функции, соответствующие определенным значениям можно получить подстановкой соответствующих значений X в уравнения (17.67). При определении этих функций учтем, что они являются одновременно собственными функциями, соответствующими операторам с собственными значениями

Поэтому волновую функцию можно записать в виде

Тогда нормированные собственные функции имеют вид

Заметим, что здесь полуцелые числа, так что и являются целыми числами. Для проверки того, что вышеприведенные функции являются собственными функциями следует подействовать этим оператором на волновую функцию и убедиться, что при этом получается

В представлении в виде матрицы-столбца первоначальные функции примут вид

Ясно, что функции являются линейными комбинациями функций а именно:

Эти уравнения также можно решить относительно

Итак, связаны между собой линейным преобразованием. Мы заключаем также, что в этом случае возможные значения в точности равны тем, которые предсказывались векторным правилом.