17. Математический анализ опыта по квантовой теории.

Перед обсуждением физической интерпретации, которую дает существующая квантовая теория мысленному опыту Эйнштейна, Розена и Подольского, покажем сначала, как этот опыт может быть описан математически.

Система, включающая спины двух атомов, имеет четыре основные волновые функции, из которых можно построить произвольную волновую функцию. Эти функции имеют вид

где спиновые волновые функции одной частицы, представляющие соответственно спин а обозначения (1) и (2) относятся соответственно к частице, имеющей этот спин. и представляют два возможных состояния, в которых каждая частица имеет определенную -компоненту спина в направлении, противоположном -компоненте другой частицы. Волновая функция для системы

с полным нулевым спином представляет собой следующую линейную комбинацию и (см. гл. 17, п. 9):

Определенный знак, с которым комбинируются и имеет решающее значение при определении результирующего спина: так, если они комбинируются со знаком то момент количества движения будет равен (но со значением -компоненты момента количества движения, равной нулю). Запишем здесь этот результат:

Ясно, что полный момент количества движения является интерференционным свойством и С другой стороны, единственные состояния, в которых каждая частица имеет определенный спин, противоположный. спину другой частицы, представлены отдельно или или Следовательно, в любом состоянии, для которого значение каждой частицы ограничено, полный момент количества движения должен быть неопределенным. Наоборот, если полный спиновый момент имеет определенное значение, то тогда неправильно считать, что любой атом имеет определенное значение своего собственного спина, потому что, если бы это было так, то не могло бы быть интерференции между функциями и и именно эта интерференция и требуется для создания определенного значения полного момента количества движения.

Однако помимо того, что определенные фазовые соотношения между и приводят к определенному значению результирующего спина, они имеют и добавочный физический смысл, определяя корреляцию (связь) результатов при измерении одной и той же компоненты спина каждого атома. Такую корреляцию можно, например, продемонстрировать в процессе измерения -компоненты спина каждого атома отдельной аппаратурой Штерна — Герлаха (см. рис. 116). С целью упрощения мы можем предполагать, что оба спина измеряются в одно и то же время, хотя это предположение и не влияет существенно на результаты. Тогда гамильтониан в момент измерения равен (см. уравнения (22.10а) и (22.106))

где - координата первого атома, -координата второго атома (мы предполагаем, что обе части измерительной аппаратуры тождественны по своей конструкции.)

Разложим теперь спиновую волновую функцию, которая существует в процессе измерения, по четырем основным функциям:

и Так как это измерение не изменяет то только и нужно использовать в процессе измерения (заметим, что это единственные члены, которые первоначально присутствовали). Следовательно, можно написать

В нашем случае начальное значение равно 1/12. Методами, подобными тем, которые привели к уравнению (22.136), находим

Решение для и с соответствующими начальными условиями дает для волновой функции сразу после того, как частицы вышли из магнитного поля,

где мы подставили времени взаимодействия между атомами и неоднородным магнитным полем.

Из волновой функции видно, что равновероятны два результата, представляемые соответственно волновыми функциями и При первом возможном результате атом 1 имеет положительное значение

а атом 2 — отрицательное. Множитель выражает собой тот факт, что в опыте Штерна — Герлаха каждый атом получает обратный импульс, направленный противоположно его спину. Аналогично при втором возможном результате атом 2 имеет отрицательное значение а атом 1 — положительное. Так же как и в пп. 9 и 11, можно показать, что поскольку аппаратура описывается классически, то волновые функции аппаратуры (которые зависят от придают спиновой волновой функции неконтролируемые фазовые множители. Таким образом, окончательно получаем

где неконтролируемые фазовые множители.

Из этого результата видно, что при измерении для каждого атома получаются значения, которые всегда противоположны значениям, полученным для другого атома. Таким образом, мы доказали, что в квантовой теории получается корреляция, напоминающая ту, которая имеет место в классической теории. Однако после того, как измерение закончено, система, имеющая определенный

результирующий момент количества движения и неопределенное значение для каждой отдельной частицы, превращается в систему, имеющую определенную величину для каждой частицы, но неопределенный результирующий момент количества движения. Более того, точное значение которое будет получено для каждой частицы, связано не динамически, а лишь статистически с состоянием системы перед измерением.

Опишем теперь процесс измерения Результаты получаются очень похожими, потому что волновая функция для системы с нулевым полным спином, выраженйая через (собственные функции будет такой же, как и при выражении через Следовательно,

Теперь можно описать измерение для каждой частицы точно так же, как это делалось для После взаимодействия с измерительной аппаратурой получаем

где а и отдельные неконтролируемые фазовые множители.

Следовательно, величина каждой частицы также связана с величиной другой частицы, причем сумма этих двух величин равна нулю. Кроме того, легко проверить, что если взять функцию

то. подставляя получим волновую функцию

Это соответствует случаю, когда измерение обнаруживает, что обе частицы одновременно имеют положительную или отрицательную величину. Отсюда мы видим, что тип могущей возникнуть корреляции величин зависит от знака, с которым складываются а потому также от результирующего момента количества движения.

В связи с этим обсуждением возникает еще одно существенное замечание, а именно что существование корреляции между атомами не указывает на заметное влияние каким-нибудь образом одного из них на другой после прекращения взаимодействия. Чтобы доказать это утверждение, вычислим прежде всего среднее значение некоюрой

функции спиновых переменных одной только частицы 2. С помощью волновой функции, имевшей место до измерения, получаем ввиду ортогональности и

После того, как измерен спин первой частицы, среднее значение становится равным

Это то же самое выражение, которое было получено без измерения спиновых переменных частицы. 1. Однако поведение двух спинов связано, несмотря на то что каждый из них ведет себя независимо от другого после прекращения взаимодействия.