27. Представление оператора через его собственные функции.

Если разложить в ряд по собственным функциям оператора А, то можно получить очень простое выражение и для функции Действие оператора А на каждую собственную функцию является просто умножением на соответствующее собственное значение а. Итак, если то

Тогда для произвольной функции от А:

Пример. Разложение по собственным функциям оператора импульса

Уравнение позволяет очень просто показать, как действует оператор на произвольную волновую функцию и таким

образом «представить» оператор посредством ряда численных операций. Этот процесс является обобщением того, что производилось выше, например, в импульсном представлении, когда оператор выражался просто числом которое умножается на собственную функцию Аналогично в координатном представлении оператор х выражался просто числом х, которое умножается на волновую функцию Каждый эрмитовский оператор А можно выразить через его собственные функции так что его действие сведется к простому умножению на число а. Таким образом, от представления только в пространствах импульсов или координат мы приходим к возможности использования более общего пространства, включающего собственные функции любого эрмитовского оператора. Как будет видно позже (см., например, гл. 16), это обобщение очень полезно в связи с матричным выражением квантовой теории.

Одно из наиболее важных преимуществ описанного выше способа выражения операторов заключается в том, что он позволяет обобщить определение функции оператора на те случаи, когда эту функцию невозможно выразить в виде степенного ряда. Поэтому уравнение можно рассматривать как определение произвольной функции оператора, и таким путем можно избежать перехода к функциям, которые представляются в виде степенных рядов. Однако, выбирая вначале метод степенных рядов, мы преследовали цель дать формулировку квантовой теории в более естественной форме, чем та, которая была бы возможна, если сразу же исходить из наиболее общего метода представления.