ГЛАВА 16. МАТРИЧНАЯ ФОРМУЛИРОВКА КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ

До сих пор математический аппарат квантовой теории и ее физическая интерпретация излагались с помощью волновой функции и линейных операторов, которые действуют на эту функцию и которые в общем случае являются комбинациями функций от

В этой главе будет развита иная формулировка квантовой механики, впервые предложенная Гейзенбергом, в которой операторы выражаются таблицами чисел, называемыми матрицами. Будет показана также эквивалентность этих двух формулировок. Преимущество матричной формулировки заключается в ее большей общности, а недостаток — большие трудности при применениях для решения специальных сложных задач, таких, например, как задача по определению стационарных состояний атомов.

1. Матричное представление оператора.

Чтобы получить оператор А в матричном представлении, рассмотрим сначала некоторую волновую функцию которая входит в совокупность полной ортонормированной системы волновых функций Например, может быть если мы рассматриваем ортонормированную систему, включающую в себя ряд гармонических функций, или же где полином Эрмита — Чебышева. Рассмотрим теперь новую волновую функцию полученную действием оператора А на т. е.

Так как образует полную ортонормированную систему, то возможно разложить функцию в ряд по

Если числа известны для всех то действие оператора А на любую волновую функцию можно представить следующим образом:

Более того, если оператор А задан, то числа всегда можно найти. Чтобы определить надо просто умножить уравнение (16.1) на и проинтегрировать по всем х. Пользуясь условиями нормировки и ортогональности функций находим

Числа в общем случае являющиеся комплексными, образуют прямоугольную таблицу чисел, которая схематически записывается в таком виде:

Легко показать, что совокупность чисел обладает всеми свойствами таких величин, которые называются в математике матрицами. Каждое число называется элементом (или компонентой) матрицы. Для обозначения всей суммы матричных элементов часто используется символ А, ее также выражают в виде Матричные элементы можно обозначить или через или

2. Свойства матриц.

Важнейшими свойствами матриц Являются следующие.

1) Две матрицы можно складывать, в результате получается новая матрица, элементы которой являются суммами соответствующих элементов отдельных матриц

2) Матрицу можно умножить на произвольное комплексное число, причем образуется новая матрица, а именно

3) Две матрицы равны только в том случае, если каждый элемент первой равен соответствующему элементу второй. Далее, матрица равна нулю, только когда все ее элементы равны нулю.

4) Две матрицы можно перемножить следующим образом:

Пример. Рассмотрим формулу для вращения вектора с компонентами на угол вокруг оси, нормальной к . В результате получим

где

Коэффициенты образуют квадратную таблицу

Преобразование (16.6) удобно записать в виде

Рассмотрим второй поворот на угол который определяется преобразованием

где образуют квадратную таблицу

Заменив координаты в уравнении (16.76) на результат их преобразования по уравнению (16.7в), получим

Легко проверить, что элемент матрицы произведения Итак, применение двух последовательных поворотов дает матрицу преобразования, которую можно выразить как произведение отдельных матриц преобразования.

Задача 1. Доказать, что матрица равна

и показать, таким образом, что два последовательно проведенных поворота вокруг одной и той же оси эквивалентны одному результирующему повороту на угол, равный сумме углов отдельных поворотов.

Коммутация матриц. Ясно, что коммутатор двух матриц

в общем случае не равен нулю.

Пример. Рассмотрим матрицы

Для них имеем

так что

Задача 2. Доказать, что коммутируют матрицы и которые представляют вращение на углы соответственно 9, и 92, определяемые матрицей (16.7а). Показать соответствие этого факта тому, что тот же результат получается при двух поворотах вокруг тех же осей, проведенных любым из двух возможных способов.

Из вышесказанного ясно, что, хотя матрицы в общем случае не коммутируют, в частных случаях они могут коммутировать.

Диагональные матрицы. Матрица у которой все элементы равны нулю, за исключением элементов с равными индексами называется диагональной матрицей. В квадратной таблице она выглядит следующим образом:

Диагональную матрицу всегда можно записать в виде

где — символ, равный нулю при и единице при Он называется символом Кронекера.

Единичная матрица. Частным случаем диагональной матрицы является единичная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице. Поэтому она имеет вид Единичная матрица часто обозначается символом (1). Легко показать, что умножение единичной матрицы на произвольную матрицу дает ту же самую матрицу. Так, например,

Задача 3. Доказать предыдущий результат, показав, таким образом, что единичная матрица коммутирует с произвольной матрицей.

Обратная матрица. Во многих случаях можно определить обратную матрицу, которая аналогична обратной величине числа. Матрица обратная матрице А, имеет следующее свойство:

Отметим, что по определению каждая матрица коммутирует со своей обратной матрицей (если последняя существует).

Чтобы получить матрицу, обратную данной, положим

Тогда мы должны иметь

Уравнение (16.12) можно рассматривать как систему неоднородных линейных уравнений, определяющих через Решая эти уравнения, запишем

где детерминант, образованный из элементов -минор этого детерминанта.

Необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы является отличие от нуля детерминанта

Задача 4. Если уравнение можно решить, то можно ли решить уравнение Ответ доказать.