8. Общий вид решения при l > 0.

Когда появляется еще отталкивающий центробежный потенциал, вызывающий эффективный потенциал (рис. 72). В классическом случае частица колебалась бы между точками а и для которых радиальная слагающая скорости исчезает. Легко найти общий вид решения. Известно, что при Можно показать, что вблизи начала координат хорошим приближением будет

Рис. 72.

Заметим, что при малых главный член эффективного потенциала равен Таким образом, дифференциальное уравнение задачи в этой области может быть аппроксимировано так:

Легко показать прямой подстановкой, что наиболее общим решением будет

где произвольные постоянные. Решение, содержащее недопустимо, поскольку в начале координат. Итак, вблизи начала координат приближенное решение имеет вид

Представив графически эту функцию, мы видим, что для вогнутость ее направлена вверх при увеличении Такой знак кривизны понятен, если вспомнить, что эффективная кинетическая энергия отрицательна. Тогда если функция положительна, то наклон волновой функции должен возрастать с увеличением Это возрастание наклона продолжается от начала координат до точки где эффективная кинетическая энергия становится положительной

и где соответственно кривизна волновой функции меняет знак (вогнутость ее направлена вниз). Первое связанное состояние будет при энергии, для которой кривая имеет направленную вниз вогнутость, смыкающуюся с экспоненциально убывающим участком при Второе связанное состояние осуществляется, когда функция переходит в экспоненциальный спад после прохождения через узел; третье — после прохождения двух узлов и т. д.

Задача 4. Найти энергетические уровни при пользуясь приближением ВКБ. Заметим, что при нет необходимости вводить граничное условие, что в начале координат, поскольку эффективный центробежный барьер автоматически включает это условие. Здесь можно применить обычную трактовку приближения ВКБ (гл. 12, п. 13) для определения энергетических уровней.

Малая величина волновой функции вблизи начала координат при является, конечно, результатом эффекта отталкивания центробежного потенциала. Ясно, что весьма мала вероятность найти частицу с большим значением момента количества движения вблизи начала координат. В самом деле, маловероятно найти частицу до тех пор, пока не достигнут достаточно большой радиус, чтобы эффективную радиальную кинетическую энергию сделать положительной. Это становится возможным, когда

где полный импульс. Поэтому маловероятно найти частицу на расстояниях меньше тех, которые определяются из соотношения Грубо говоря, этот результат указывает на то, что маловероятно найти частицу с импульсом ближе к началу координат, чем на расстоянии, на котором классическая частица, движущаяся с этим импульсом по круговой орбите, будет иметь соответствующий момент количества движения.