ГЛАВА I. ВОЗНИКНОВЕНИЕ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ

Закон Рэлея — Джинса

1. Равновесное излучение абсолютно черного тела.

Исторически квантовая теория возникла при попытке расчета равновесного распределения электромагнитного излучения полости. Поэтому мы начнем с краткого описания основных свойств этого излучения. Энергия излучения возникает в стенках полости, непрерывно испускающих волны всевозможных частот и направлений, интенсивность которых очень быстро возрастает с повышением температуры. Однако

количество энергии излучения в полости не возрастает со временем безгранично, так как процесс испускания компенсируется процессом поглощения, который идет со скоростью, пропорциональной интенсивности излучения, уже существующего в полости. В состоянии термодинамического равновесия количество энергии заключенное в интервале частот между определяется равенством интенсивностей испускания и поглощения энергии этой частоты стенками полости. И экспериментально, и теоретически [11] было показано, что после достижения равновесия энергия зависит только от температуры стенок и не зависит ни от природы вещества, из которого сделаны стенки, ни от их конструкции [71].

В стенке полости сделаем отверстие для наблюдения излучения. Если это отверстие очень мало по сравнению с размерами полости, то оно приведет к ничтожному изменению в распределении энергии излучения внутри полости. Тогда легко показать, что интенсивность выходящего из отверстия излучения, приходящегося на единицу телесного угла, равна где с — скорость света.

Измерениями было обнаружено, что при определенной температуре функция соответствует кривой, изображенной на рис. 1 непрерывной линией. При низких частотах энергия пропорциональна а при высоких она падает экспоненциально с ростом частоты. С увеличением температуры максимум этой кривой смещается в сторону больших частот; этим объясняется изменение цвета излучения, когда источник его нагревается.

Рис. 1.

На основе термодинамических соображений [11] Вин показал, что функция распределения энергии частотам должна иметь следующий вид: Однако вид функции уже нельзя определить только из одних термодинамических соображений. Вин получил довольно хорошее, хотя и неидеальное согласие с эмпирической кривой при помощи формулы

Здесь постоянная Больтцмана, экспериментально определяемая постоянная (позже будет показано, что это известный квант действия).

С другой стороны, классическая электродинамика приводила к вполне определенному, но совершенно неправильному выражению для функции Эта теоретическая формула, которая будет выведена ниже, имеет вид

Из рис. 1 видно, что закон Рэлея-Джинса совпадает с опытом при низких частотах, но предсказывает слишком большую интенсивность излучения в области высоких частот. Действительно, если произвести интегрирование по всем частотам, чтобы найти полную энергию, то мы приходим к расходящемуся результату, т. е. к абсурдному выводу, что в полости заключена бесконечно большая энергия. Экспериментальная кривая начинает заметно отклоняться от закона Рэлея — Джинса, когда величина становится порядка Следовательно, нужно пытаться построить такую теорию, которая приводит к классическим результатам для области но отличается от классической теории при более высоких частотах.

Однако, прежде чем переходить к обсуждению путей, по которым должна быть изменена классическая теория, полезно детально исследовать вывод закона Рэлея — Джинса. Это позволит нам не только более подробно ознакомиться с теми явлениями, при попытках объяснения которых потерпела неудачу классическая физика, но также и ввести некоторые классические физические представления, которые окажутся весьма полезными для понимания квантовой теории. Кроме того, использование метода разложения в ряд Фурье для решения этих классических задач будет являться некоторой подготовкой для его дальнейшего применения в задачах квантовой теории.