ГЛАВА 10. ФЛУКТУАЦИИ, КОРРЕЛЯЦИИ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ

1. Статистические флуктуации и корреляции.

Мы уже видели, что в процессе измерения наблюдаемое значение переменной будет в общем случае меняться от одного измерения к другому. Полезно знать критерий этой флуктуации. В классической физике такие флуктуации часто измеряются по величине средних квадратов отклонений действительных значений от средней величины. Так, средняя флуктуация х равна

Ясно, что если нет флуктуаций, т. е. во всех измерениях, Так как всегда величина положительная, то также ясно, что во всех измерениях, где х отличается от не равно нулю. Чем больше разность между тем больше

Конечно, надо помнить, что знание их никоим образом не определяет плотность вероятности а просто дает в общем случае распределение величины х около своего среднего значения. Действительно, можно сказать, что величина является критерием неопределенности х, так как она примерно показывает, насколько будут меняться значения х от одного измерения к другому. Поэтому можно записать где неопределенность х.

2. Обобщение на случай квантовой теории.

Эти представления легко обобщить в случае квантовой теории. Если известна волновая функция то известна и плотность вероятности

и поэтому мы знаем среднее, значение любой функции х. В частности, среднее значение дается выражением

Однако очень часто неудобно иметь дело с детальным видом волновой функции, так как это требует решения волнового уравнения. Иногда достаточно знать лишь общий характер распределения, а именно значения которые в общих чертах характеризуют основные общие свойства распределения. В частности, позже мы увидим, что возможно сделать определенные выводы о величине даже когда неизвестен точный вид функции Введение средних величин типа тогда оказывается весьма полезным.

Подобным же путем можно ввести среднюю флуктуацию

где — неопределенность

Если известна функция то значения вычисляются из предыдущих формул. Позже будет исследован общий вид произведений типа и показано, что соотношение неопределенностей всегда удовлетворяется для любой волновой функции. Пока же можно рассматривать лишь некоторые частные виды волновых функций, вроде приведенных в задаче 1, и показать выполнение соотношения неопределенностей в этих случаях.

Задача 1. Показать, что соотношение неопределенностей выполняется для следующих трех волновых пакетов:

В каждом случае а выбирается из соображений нормировки полной интегральной вероятности.

3. Корреляция между р и x.

При любом статистическом распределении двух классических переменных, таких, как важно знать, коррелируют ли эти две переменные или нет. Например, среди людей нет однозначной связи между их ростом и весом но эти две величины статистически связаны (коррелируют) друг с другом в том смысле, что обычно более высокий человек тяжелее, чем более низкий. Аналогично можно спросить, имеет ли распределение какую-либо связь (корреляцию) с распределением Другими словами, соответствует ли обычно ббльшему большее х или, наоборот, большее встречается при меньших Если одна из этих

статистических связей существует, то можно сказать, что коррелируют. С другой стороны, если такой связи нет, то об этих двух величинах говорят, что они статистически независимы.

Предположим, что рост людей А и их вес статистически независимы. Это означает, что распределение роста не зависит от веса. Тогда можно записать, что вероятность иметь данный рост между равна Аналогично, вероятность иметь любой вес между и не зависит от А и поэтому равна По определению вероятность совместного появления двух независимых результатов равна произведению их вероятностей. Поэтому вероятность того, что рост человека лежит между а вес между равна произведению

Если распределение нельзя записать как произведение, то две переменные не являются статистически независимыми. Рассмотрим, например, такую формулу Ясно, что функцию распределения относительно А нельзя рассматривать как независимую от