8. Анализ полученного выражения электромагнитной энергии.

Исследуем наиболее важные свойства уравнения (1.23):

1) Энергия является суммой отдельных членов двух типов, один из которых содержит коэффициент а, другой — Это означает, что волны различной длины и поляризации не взаимодействуют друг с другом, поскольку взаимодействие любых двух систем всегда приводит к тому, что энергия одной из систем зависит от состояния другой. Здесь же мы видим, что энергия каждой волны с вектором распространения к и поляризацией пропорциональна только квадратам коэффициентов и не зависит ни от каких других коэффициентов а или Подобный результат имеет место и для всех членов с коэффициентами

2) Энергия, связанная с каждым из коэффициентов (или математически выражается так же, как и энергия гармонического осциллятора. Гармонический осциллятор с массой и угловой частотой со обладает энергией

По аналогии можно написать

Тогда линейная частота равна Мы знаем, конечно, что электромагнитная волна с длиной волны X обладает как раз такой частотой (см. также уравнение (1.22)). Это показывает, что используемая аналогия с гармоническим осциллятором дает правильное описание характера изменения коэффициента а.

Аналогию с осциллятором можно продолжить и дальше. Например, в случае осциллятора вводится импульс . В нашем случае импульс равен

Затем можно ввести гамильтониан осциллятора

Для коэффициента получаем соответственно

Аналогичное выражение можно получить и для коэффициента .

Точные уравнения движения можно получить из уравнений Гамильтона

которые приводят к уравнениям (1.22), полученным ранее непосредственно из уравнений Максвелла,

и аналогично для коэффициента

Как мы видели, коэффициенты аналогичны координатам отдельных невзаимодействующих гармонических осцилляторов. В известном смысле величины можно также рассматривать и как координаты поля излучения. Это можно сделать потому, что если эти величины заданы, то поле определяется повсюду при помощи уравнения (1.20). Таких координат существует бесконечное множество, так как существует бесконечное множество допустимых значений к. Но это — дискретная или счетная бесконечность, в отличие от бесконечности континуума точек на линии. Основное преимущество от использования разложения Фурье заключается в том, что это дает нам возможность описать поля в пространстве континуума при помощи бесконечного дискретного множества координат.

Возникает вопрос о числе независимых координат, соответствующих каждому допустимому значению к. Во-первых, каждому к отвечают два направления поляризации; во-вторых, для каждого мы имеем свои коэффициенты Таким образом, на первый взгляд может показаться, что для каждого значения к требуются четыре независимых координаты. Но из уравнения (1.16) видно, что требуется определить лишь комбинации коэффициентов так что число необходимых независимых переменных может быть уменьшено вдвое. Это означает, что для каждого к существует две независимые координаты.