3. Электромагнитные потенциалы.

Начнем с краткого обзора электродинамики. Дифференциальные уравнения в частных производных электромагнитного поля, согласно Максвеллу, имеют вид

где плотность тока, плотность электрического заряда. Из уравнений (1.4) и (1.5) следует, что в самом общем случае напряженности электрического и магнитного полей могут быть выражены через векторный и скалярный потенциалы следующими формулами:

и

Если и выражены таким образом, то уравнения (1.4) и (1.5) удовлетворяются тождественно, а уравнения для потенциалов получаются подстановкой соотношений (1.8) и (1.9) в уравнения (1.6) и (1.7).

Уравнения (1.8) и (1.9) не определяют однозначно потенциалов через поля. Если, например, добавить произвольный вектор к векторному потенциалу, то магнитное поле не изменится, потому что имеет место тождество Если одновременно добавить

величину к скалярному потенциалу, то электрическое поле тоже остается неизменным. Итак, мы нашли, что электрические и магнитные поля остаются инвариантными к следующим преобразованиям потенциалов:

Формулы (1.10) носят название «калибровочного, или градиентного, преобразования».

Можно воспользоваться инвариантностью полей относительно этих градиентных преобразований для упрощения выражений напряженностей . Обычно потенциалы выбирают так, чтобы удовлетворялось равенство Покажем, что такой выбор всегда возможен. Предположим, что мы имеем дело с произвольными потенциалами При помощи калибровочных преобразований (1.10) получим новые выражения для потенциалов Для удовлетворения условия надо выбрать функцию так, чтобы выполнялось равенство

Но это условие есть не что иное, как уравнение Пуассона, определяющее искомую величину через известную функцию Решение этого уравнения всегда можно найти, и оно равно

Таким образом, мы доказали, что всегда возможно подобрать такое калибровочное преобразование, которое позволяет удовлетворить условию

Покажем теперь, что в пустом пространстве выбор условия одновременно приводит к равенству что сильно упрощает запись уравнений электрического поля. Чтобы показать это, подставим уравнение (1.9) в (1.7), положив так как, согласно условию, в пустом пространстве заряды отсутствуют. В результате получаем

Но так как то отсюда следует

Мы получили уравнение Лапласа. Хорошо известно, что единственным решением этого уравнения, непрерывным во всем пространстве, является решение (Все другие решения предполагают существование заряда в некоторых точках пространства и потому делают неприменимым уравнение Лапласа в этих точках.) Однако следует заметить, что условие справедливо только в пустом пространстве, потому что в присутствии заряда уравнение (1.7) приводит к уравнению Пуассона Это уравнение имеет ненулевые непрерывные решения при условии, что величина не тождественно равна нулю.

Итак, в пустом пространстве получаем следующие выражения для полей:

кроме того, на эти поля наложено условие

Наконец, для того, чтобы получить дифференциальное уравнение в частных производных, определяющее векторный потенциал А в пустом пространстве, нужно подставить выражения (1.11) — (1.13) в уравнение (1.6), положив там ибо в отсутствии вещества нет и токов проводимости. В итоге получаем

Уравнения (1.11) — (1.14), вместе с граничными условиями, полностью определяют электромагнитные поля в полости, не содержащей ни зарядов, ни токов.