12. Собственные значения и собственные векторы матриц.

Чтобы получить собственные значения оператора А в матричном представлении, следует исходить из формулы где это собственное значение оператора А. Разложим затем функцию в ряд по системе ортонормированных функций и получим Затем умножаем это равенство почленно на и интегрируем по х, в результате получаем

Таким образом, мы получили систему линейных однородных уравнений, определяющих коэффициенты через матричные элементы и собственные значения Условие разрешимости этих уравнений

сводится к равенству нулю определителя, составленного из коэффициентов у искомых неизвестных С:

Это уравнение часто называют вековым, или секулярным, уравнением.

Очевидно, что уравнение (16.31), порядок которого равен числу строк и столбцов определителя, определяет собственные значения Каждое решение дает собственное значение Если найдено какое-то значение то уравнение (16.30) можно решить для и получить собственный вектор, соответствующий этому собственному значению. Собственный вектор является просто матричным представлением соответствующей собственной функции оператора выраженным через коэффициенты ортонормирован ной системы функций

Рассмотрим теперь в качестве примера матрицу Чтобы получить ее собственные значения и собственные векторы, запишем

где X — собственное значение и — собственный вектор. Это равенство эквивалентно следующим уравнениям:

Условие разрешимости этой системы сводится к требованию равенства нулю определителя, составленного из коэффициентов при С, что дает

Таким образом, два собственных значения равны +1 и —1. Для каждого собственного значения получаем соответствующий собственный вектор с помощью подстановки найденной величины X в уравнения для С. Это дает

Нормированные собственные векторы при этом равны