9. Анализ эффекта Комптона.

При детальном анализе этого эксперимента можно продемонстрировать сложные и тонкие соотношения между классической и квантовой теориями, которые вытекают из принципа соответствия.

Для этого прежде всего рассмотрим классическое объяснение явления рассеяния световых волн электроном. Согласно классической теории, падающая световая волна создает гармонически колеблющееся электрическое поле которое приводит электрон в колебательное движение и заставляет его тем самым излучать симметрично относительно плоскости, нормальной к направлению падающего излучения. Полный импульс излучаемого электроном света равен нулю, поэтому импульс, который теряется падающим пучком света, должен перейти к электрону. Это создает давление излучения на электрон, которое вызывает его ускорение. Величину полной силы излучения, действующей на электрон, можно вычислить по формуле, выведенной Томсоном ([19], стр. 321; [11]; стр. 477) для скорости рассеяния энергии в падающем пучке интенсивности (выраженной в

Так как импульс, поглощенный от пучка, равен то скорость получения электроном этого импульса определяется выражением

Мы можем получить более наглядную картину механизма возникновения давления излучения, если рассмотрим волну, падающую в направлении с электрическим полем, направленным вдоль оси х и магнитным полем вдоль оси у. До сих пор мы пренебрегали магнитными силами, потому что полная сила равна а так как в вакууме то член, содержащий множитель оказывает лишь очень малое влияние на движение, если только электрон не движется со скоростью, близкой к скорости света. Если как это обычно имеет место, то можно решать задачу о движении электрона в первом приближении, пренебрегая членом и затем перейти к следующему приближению, учитывая этот член как возмущение. Тогда мы находим, при усреднении за один период, что средняя электрическая сила, действующая на электрон, исчезает, но в направлении остается не исчезающая во времени компонента магнитной силы. Вычисления показывают, что она равна значению, определяемому уравнением (2.6).

Задача 3. Известно, что электрон в электромагнитном поле подчиняется следующему уравнению движения:

Последний член представляет собой силу, возникающую от обратного действия на электрон излученного им поля [20]. Предполагая, что решить эти уравнения для случая стационарных колебаний электрона, пренебрегая магнитными силами. Показать, что при таком движении средняя электрическая сила исчезает, а средняя магнитная сила имеет неисчезающую компоненту в направлении по величине равную значению, определяемому уравнением (2.6). При решении следует использовать неравенство

Поскольку электрон приобретает скорость, то в результате возникает результирующее доплеровское смещение в сторону более низких частот. Это смещение состоит из двух частей. Во-первых, электрон удаляется из светового пучка, так что он испытывает действие поля с частотой более низкой, частота падающего света. Кроме того, в процессе излучения возникает другое доплеровское смещение, которое гасит первое в направлении движения и удваивает его в обратном направлении. Действительно, можно показать, что угловая зависимость доплеровского смещения точно равна выражению, даваемому уравнением (2.5) для эффекта Комптона (см. уравнение (2.7а)).

Задача 4. Предположим, что электрон, первоначально находившийся в покое, подвергается в течение времени действию светового луча с интенсивностью и длиной волны Показать, что доплеровское смещение (в нерелятивистской теории, где равно

где скорость электрона. Показать также, что доплеровское смещение равно

где полная энергия, полученная от падающего света.

Согласно классической теории, это доплеровское смещение должно постепенно возрастать со временем, поскольку частица получает энергию. Кроме того, частица могла бы получать любое количество энергии, поэтому было бы возможно наблюдать все возможные величины для доплеровского смещения под заданным углом наблюдения и при изменении интенсивности излучения или времени экспозиции. Однако в опытах было обнаружено, что при заданном угле наблюдается только одно значение смещения длины волны независимо от интенсивности излучения и времени облучения. Эти факты указывают на то, что процесс передачи энергии и импульса не является непрерывным, как это предсказывает классическая теория, а является дискретным, как следует из квантовой теории.

Рассмотрим теперь как объясняется в рамках квантовой теории предельный классический случай. Предположим, например, что электрон сталкивается с радиоволной, несущей много квантов. Электрон рассеивает эти кванты, но максимально возможное увеличение длины волны при единичном процессе равно см и представляет собой слишком маленькую величину, чтобы ее можно было обнаружить в радиоволнах с длиной порядка сантиметров или больше. С другой стороны, частица продолжает получать энергию, поскольку она сталкивается со все большим и большим числом квантов и в конце концов скорость становится настолько большой, что доплеровское смещение становится заметным. Таким образом, мы получаем доплеровское смещение, которое возрастает как бы непрерывно, как этого требует классическая теория. (Однако в рентгеновских лучах относительное смещение длины волны при одном квантовом процессе заметно, и поэтому квантовые дискретные эффекты становятся существенными.)

В некоторых частных случаях смещение частоты может быть вычислено квантовомеханически из законов сохранения энергии и импульса, а также соотношения Эйнштейна — де Бройля . Для этого требуется только определить комптоновское смещение фотона с начальной частотой рассеянного электроном, который движется первоначально с импульсом Упростим задачу, предположив, что начальный импульс частицы имеет направление, совпадающее с направлением падающего фотона. Изменение длины

волны тогда равно

Задача 5, Вывести уравнение (2.7в).

Чтобы получить классический предел, надо предположить, что изменение импульса происходящее за время дискретного процесса рассеяния, мало по сравнению с Для нерелятивистского случая это изменение импульса будет порядка так что в классическом пределе

Следовательно, уравнение (2.7в) переходит в

в согласии с классическим выражением, даваемым формулой (2.7а).

Замечательно, что значения доплеровского смещения, вычисленные из квантовотеоретических предположений о дискретности процесса рассеяния, совпадают в классическом пределе со значением, полученным из классической теории на основе совершенно иного описания, включающего, кроме всего прочего, предположение, что этот процесс непрерывен. Легко видно, что причина такого совпадения заключена в самой природе соотношений Эйнштейна — де Бройля, которые связывают изменения энергии и импульса, вызванные дискретным квантовым процессом с изменениями частоты и длины волны, обусловленными непрерывным классическим процессом. Поэтому даже на этой ранней стадии развития квантовой теории объяснение комптоновского и фотоэлектрического эффектов при помощи дискретных квантовых процессов не только приводит к согласию с экспериментами, на которых основывается такое объяснение, но также дает правильное приближение в классическом пределе. Это первый пример, показывающий, что применение принципа соответствия далеко не тривиально (см. п. 6). По мере развития дальнейшего изложения станет еще более очевидной тесная связь по принципу соответствия между классической и квантовой теориями.

Интересно отметить, что можно получить правильное квантовомеханическое выражение для смещения частоты, если подставить величину в уравнение (2.76), выведенное классическим путем. На основании этого результата с наивной точки зрения можно считать классическим рассеяние излучения электроном, с тем лишь исключением, что по каким-то причинам он взаимодействует только с порциями энергии, величиной (Это предположение очень похоже на неудачное объяснение фотоэлектрического эффекта, приведенное в Однако если бы эффект Комптона осуществлялся таким

образом, то смещение частоты при ускорении электрона должно было бы изменяться непрерывно, от нуля до максимального значения. Следовательно, не было бы согласия с опытом, в котором получается, что заданному значению угла рассеяния соответствует лишь одна определенная величина смещения частоты в согласии с гипотезой дискретности процесса рассеяния.

Получение правильного значения для комптоновского смещения при подстановке кванта энергии в уравнение (2.76) нужно понимать лишь в смысле принципа соответствия, но это не является строгим выводом. Дело здесь заключается в том, что эффект квантования в основном сводится лишь к ограничениям изменений энергии на величины, кратные кванту если принять во внимание эффекты дисперсности в классическом пределе. Конечно, комптоновский эффект обычно наблюдают вдали от классического предела, но для него случайно оказывается, что результаты, полученные экстраполяцией описанной выше процедуры в квантовую область, правильны, несмотря на то, что эта процедура справедлива только в классическом пределе. В большинстве случаев, как будет видно из следующих пунктов этой главы, такая грубая экстраполяция приводит лишь к приближенным формулам, которые могут отличаться от точных на численный множитель, порядка 2 или 3, но которые дают в общем правильный порядок величины для оценки квантовомеханических эффектов. В связи с этим укажем, что единственно строгим выражением принципа соответствия для доплеровского смещения является уравнение (2.7в).

Принцип соответствия применим не только к определению смещения частот, но также и для расчета средней энергии излучения. Мы знаем (см. пп. 3 и 4), что квантовые законы дают лишь вероятность дискретных процессов передачи энергии от поля излучения к электрону, в то время как классические законы дают динамически определенные выражения для скорости непрерывного перехода энергии. В классическом пределе, когда в процессе участвует много квантов, средняя скорость передачи энергии, вычисляемая с помощью квантовых вероятностей, должна совпадать с точной скоростью перехода энергии, вычисленной из ньютоновского закона движения. Поэтому вероятность рассеяния квантов за единицу времени должна быть выбрана таким образом, чтобы средний импульс, поглощенный за единицу времени, был равен классической скорости поглощения, а именно

При таком выборе получаются правильные классические динамические законы, применимые в данном случае, поскольку рассеивается так много квантов, что отклонение действительного результата от вероятного становится исчезающе малым.

Задача 6. Задан пучок рентгеновских лучей частоты гц с интенсивностью Какова вероятность рассеяния от одного электрона одного кванта за 1 сек? Сравните результат с тем, который был получен для электромагнитной волны частоты 1 гц, и с той же интенсивностью. В каком случае применимы динамические законы?