13. Изменение представления.

Предположим, что имеются матрицы, соответствующие данному ряду операторов, выраженные в каком-то представлении, и мы хотим перейти к некоторой другой

ортонормированной системе функций. Примером такого перехода является переход от -представления к -представлению или от -представления к представлению в эрмитовских полиномах (см. гл. 13 п. 7). Для рассмотрения общего случая такого изменения представления предположим, что мы исходим из разложения волновой функции по какой-то полной системе функций причем ради удобства будем считать, что эта система дискретна, хотя точно те же методы можно применить к случаю непрерывных систем. Итак, исходим из выражения этом представлении матрица оператора А имеет вид

Рассмотрим теперь новую ортонормированную систему функций и связанные с ней матричные элементы Наша задача заключается в том, чтобы найти связь между

Для получения этой связи заметим сначала, что на основании постулата разложения функцию можно разложить в ряд по системе Поэтому имеем

Совокупность коэффициентов арт сама по себе тоже образует матрицу, называемую матрицей преобразования.

Разложив в уравнении (16.32а), согласно выражению (16.326), получим

Для придания этому выражению более удобного вида учтем, что где эрмитовски сопряженное значение а (см. уравнение (16.17)). Тогда вышеприведенное уравнение запишется так: Но это эквивалентно матричному соотношению

Таким образом, мы пришли к выводу, что изменение представления можно выразить, как линейное преобразование, при котором матричный элемент заменяется линейной комбинацией элементов преобразованной матрицы.