5. Математическая трактовка процесса наблюдения.

Квантово-механическое описание процесса наблюдения мы должны начать с решения уравнения Шредингера, принимая во внимание влияние измерительной аппаратуры. До начала опыта измерительная аппаратура А и исследуемая система 5 в общем случае не связаны друг с другом. Например, при фотографировании мы связываем пластинку со снимаемым предметом, открывая на некоторое определенное время затвор. Перед этим отсутствовало взаимодействие между пластинкой и предметом. Читатель может легко убедиться, что требование отсутствия связи перед началом опыта удовлетворяется во всех практических процессах измерения. При отсутствии взаимодействия между и 5 оператор Гамильтона имеет вид

где -гамильтониан изолированной исследуемой системы, а гамильтониан одной аппаратуры. Отсутствие связи между этими двумя гамильтонианами математически выражается тем, что является функцией только переменных х, а только переменных у.

В этой элементарной трактовке мы для простоты полагаем, что перед началом измерения аппаратура находится в достаточно определенном состоянии. Состояние аппаратуры определяется при этом волновой функцией Временная зависимость означает, что сама аппаратура может изменить свое состояние. Пока нам нет необходимости более точно знать вид функции Однако следует заметить, что так как измерительная аппаратура должна допускать классический способ описания, то функция должна всегда принимать вид волнового пакета. Последний определяется значительно менее точно, чем пределы точности, следуемые из соотношения неопределенностей (гл. 10, п. 9). Для рассмотрения конкретного примера можно допустить, что координата у представляет собой положение стрелки амперметра. Тогда волновой пакет дает степень точности определения положения этой стрелки. Предположим, что собственный период колебаний этой стрелки равен 0,1 сек.

Разность энергий для соседних квантовых состояний будет тогда равна

Чтобы получить оценку максимального смещения х стрелки, соответствующего одному квантовому скачку, воспользуемся формулой для энергии

Взяв для смещения стрелки получаем Ясно, что ни при каких обстоятельствах не удалось бы пользоваться амперметром, точность которого приближалась бы к квантовому уровню точности.

Что касается исследуемой системы, то ее состояние неизвестно, но это как раз и является целью измерений — получить об этом некоторые сведения. Предположим, что волновая функция системы 5 разложена в ряд по некоторой ортогональной и нормированной системе функций являющейся решением уравнения Шредингера для одной системы, т. е.

где неизвестные коэффициенты.

После того, как аппаратура начинает взаимодействовать с системой 5, в гамильтониане появляется третий член, который мы обозначим через Таким образом, получим

Именно член вводит связь между состояниями системы 5 и аппаратуры А и тем самым дает возможность произвести измерение. Как будет видно ниже, прежде чем эта связь станет достаточно сильной, чтобы появилась возможность сделать определенное измерение, взаимодействие должно продолжаться определенный минимальный интервал времени который обратно пропорционален величине взаимодействия. Поэтому, если взаимодействие выключается слишком быстро, то измерения не получится. Однако взаимодействие может быть прекращено в любой момент после и в большинстве типов аппаратуры оно должно быть прекращено в пределах определенного периода времени для того, чтобы предотвратить нарушение регистрации эксперимента. Например, в фотокамере время взаимодействия регулируется затвором. Если это время слишком коротко, то снимок будет с недодержкой и не получится точного изображения. Минимальная экспозиция будет обратно пропорциональна интенсивности света, т. е. мощности взаимодействия. Однако если затвор остался

открытым слишком долго, то снимок будет передержан и опять будет нарушена регистрация эксперимента.

Всегда, когда результаты измерений зафиксированы (например, на фотографии, на проволочной ленте, на перфокарте, при помощи карандашных пометок в блокноте или просто изменением положения или импульса какого-нибудь подходящего предмета), мы имеем такую ситуацию, при которой показания отделены от наблюдаемой системы, поэтому любое число наблюдателей может воспользоваться этими показаниями, не взаимодействуя с системой 5. Действительно, это свойство включено в само определение регистрации эксперимента. Хотя и нет необходимости, чтобы результаты всех наблюдений были фактически где-то зафиксированы, но все результаты измерений, в принципе, могут быть зафиксированы. Для рассматриваемой нами цели — показать, что квантовая теория способна дать непротиворечивое объяснение процесса измерения, - будет достаточно ограничиться теми случаями, когда результаты измерений фактически фиксируются. Другими словами, мы предполагаем, что после некоторого времени конечная стадия установки (т. е. та часть ее, в которой фиксируются результаты) освобождена от связи с исследуемой системой. Так как процесс регистрации можно всегда, принципиально, сделать полностью автоматическим, то ясно, что, когда человек получает сведения, глядя на регистрирующий прибор, он не должен производить абсолютно никаких изменений в исследуемой системе 5. Это означает, что все изменения в системе 5 (которые потом могут быть существенно квантовомеханическими) производятся только действиями аппаратуры, влияние же наблюдателя во время получения информации ограничивается классически описываемыми частями аппаратуры, где, как мы видели, это влияние не вносит заметных изменений.

После того, как имело место взаимодействие, состояние системы 5 может претерпеть изменение по двум причинам. Во-первых, исследуемые переменные могут не быть постоянными движения в невозмущенной системе 5. Так, положение свободно движущейся частицы непрерывно изменяется с течением времени. Во-вторых, взаимодействие с измерительной установкой может ввести дальнейшие изменения в исследуемые переменные. Так, при измерении импульса заряженной частицы по следу, который она оставляет в камере Вильсона, аппаратура изменяет этот импульс как вследствие действия магнитного поля, систематически отклоняющего частицу, так и потому, что молекулы газа, с которыми частица сталкивается, сообщают ей небольшие беспорядочные отклонения.

Пока речь идет о теории измерений, изменения наблюдаемых переменных, осуществляющиеся в процессе измерения, вносят не относящиеся к делу осложнения. Вскоре мы увидим, что, в принципе, всегда возможно построить такие приборы, которые измеряют данные переменные, не изменяя их в процессе измерения (в связи с этим

см. также гл. 6, п. 3). (В согласии с соотношением неопределенностей, дополняющие друг друга переменные должны, конечно, изменяться не полностью контролируемым путем.) Один из методов достижения такого результата заключается в следующем. Во-первых, мы производим так называемое мгновенное измерение. Следовательно, время взаимодействия настолько коротко, что изменения переменной, которые должны были бы появиться без измерения, ничтожно малы. Так, например, мы можем измерять положение частицы при помощи такого короткого импульса света, что частица не сдвинется заметно, когда она рассеивает этот импульс. Однако, для того чтобы сфотографировать частицу за очень короткое время, требуется интенсивный источник света. Иными словами, мгновенное измерение требует приложения в течение короткого времени сильного взаимодействия между аппаратурой и исследуемой системой. В процессе мгновенного измерения члены создают такие изменения в волновых функциях, которые пренебрежимо малы по сравнению с изменениями, создаваемыми членом взаимодействия Следовательно, в это время (и только в это время) уравнение Шредингера можно записать в виде

Однако до и после взаимодействия имеем

Таким образом, во время взаимодействия функции являющиеся решениями уравнения Шредингера, когда можно считать постоянными во времени. Мы будем ниже их обозначать как Итак, при мгновенном измерении исключаются все изменения исследуемых переменных, которые происходят независимо от процесса взаимодействия.

Мы говорили, что для мгновенного измерения требуется большая энергия взаимодействия. Но если энергия взаимодействия велика, то как мы сможем избежать изменений в измеряемых переменных, которые вносятся самим процессом взаимодействия? Чтобы ответить на этот вопрос, обозначим наблюдаемые величины оператором с собственными значениями и собственными функциями Если состояние аппаратуры связано как-то с состоянием переменной то необходимо, чтобы член зависел по крайней мере от так же, как и от у. Заметим теперь, что если выбран диагональным в том же представлении, в каком диагональна величина то равны нулю матричные элементы, соответствующие переходам от одного значения к другому. Это означает, что независимо от силы взаимодействия изменений в не будет (хотя дополнительные наблюдаемые величины могут при этом значительно изменяться).

Чтобы член был диагонален, когда диагональна величина выбираем в виде

Это означает, что является функцией только Таким образом, мы достигли цели, спроектировав аппаратуру, при помощи которой данная переменная величина может измеряться, не претерпевая сама никаких изменений.

Если наблюдаемая переменная изменяется во время измерения, то можно в общем случае внести поправку на эти изменения. Например, при измерении импульса с помощью доплеровского смещения (гл. 5, п. 9) мы видели, что импульс изменялся на определенную величину, на которую можно внести поправку. Мы не будем здесь доказывать, что такая поправка возможна в любом случае, но читатель после некоторых размышлений может убедиться в справедливости этого утверждения. В этой книге мы дальше ограничимся обсуждением более простого случая, когда переменная не изменяется во время измерения. Как мы видели, всегда, в принципе, возможно провести измерения таким образом. Следовательно, трактовка одного этого типа измерений адекватно показывает, что квантовая теория способна дать последовательное описание процесса измерений.

Теперь мы можем придать уравнению Шредингера для случая измерения импульса сравнительно удобную форму. Для этого рассмотрим полную волновую функцию представляющую состояние системы 5 и аппаратуры А во время измерения. Если рассматривать как функцию х, то ясно, что теорема разложения позволяет написать

где собственные функции оператора Из вышеизложенного мы видим, что будут в общем случае функциями у и тогда

и уравнение Шредингера (22.4) принимает вид

Так как является функцией то уравнение (22.8а) приводится к виду

где мы заменили оператор числом соответствующим собственной функции, на которую действует оператор Умножая уравнение (22.86) на и интегрируя по х, находим

Это означает, что состояние аппаратуры претерпевает изменения, которые различны для различных собственных значений переменной системы. Если взаимодействие достаточно сильно и если допустить, что оно продолжается в течение достаточно долгого времени, то изменения переменных, описывающих аппаратуру, будут настолько велики, что состояние последней будет главным образом зависеть от значения исследуемой величины Это и есть связь между двумя рядами наблюдаемых величин, которую необходимо определить, прежде чем можно использовать взаимодействие для целей измерения.