50. Случай в: возмущение Vmn медленно изменяющееся со временем (адиабатический случай).

Часто возмущение возникает очень медленно; например, в эффекте Зеемана магнитное поле

нарастает в течение интервала времени, который может быть очень велик по сравнению с атомными периодами. После того, как возмущение достигло своего предельного значения, оно остается постоянным. Однако в этом случае рассмотренную выше теорию нельзя применить для постоянной во времени матрицы возмущения потому что при выводе предыдущих результатов мы предполагали, что возмущающий потенциал возникал внезапно в момент Выясним теперь, что произойдет, если возмущение включается постепенно.

Рис. 80.

Типичное поведение величин со временем в этом случае показано на рис. 80. Когда асимптотически. Для положительных значений асимптотически приближается к постоянной величине. Для промежуточных значений времени изменение происходит плавно и медленно.

Рассмотрение следует начать с уравнения (18.9а) для коэффициентов Так как интегрируемым путем при то можно с ничтожной ошибкой заменить нижний предел на

Такая замена справедлива, если коэффициенты малы. Проинтегрируем это выражение по частям, замечая, что

В результате получим

Заметим здесь, что так как величины стремятся к постоянному значению при больших положительных то при этом производная

Таким образом, с ничтожной ошибкой можно заменить пределы интегрирования если мы хотим рассматривать времена, большие чем Это дает,

Интеграл в правой части в точности пропорционален компоненте Фурье функции соответствующей частоте Приближенный вид функции изображен на рис. 81. Она начинается с нуля при достигает максимума и вновь спадает до нуля при Имеется некоторый средний интервал времени в течение которого функция велика. Из теории волновых пакетов мы знаем, что компоненты Фурье функции будут велики лишь в интервале частот Поэтому интегралом в правой части уравнения (18.109а) можно пренебречь, если

Рис. 81.

Задача 9. Предположим, что Показать, что если то компонента Фурье в уравнении (18.109а) становится исчезающе малой.

Следовательно, если то можно написать

Поэтому мы заключаем, что если потенциал включать бесконечно медленно, то в коэффициенте останется лишь член, который колеблется с угловой частотой Сравнивая это с результатами для случая внезапного включения возмущения (уравнение (18.13)), мы видим, что в последнем случае существует добавочный член, который не колеблется со временем.

Результат очень похож на случай гармонического осциллятора с собственной частотой на который действует внешняя сила, гармонически изменяющаяся со временем с угловой частотой Уравнение движения такой системы имеет вид

Общее решение равно

При подходящем выборе можно удовлетворить некоторым специальным граничным условиям, например:

В общем случае не равны нулю, и потому существуют так называемые «свободные колебания» с угловой частотой Однако если равны нулю, то можно создать лишь «вынужденные» колебания с угловой частотой равной частоте вынуждающей силы.

Как можно возбудить такие чисто «вынужденные» колебания? Один способ заключается в очень медленном по сравнению с периодом колебаний (или, можно сказать, адиабатическом) включении вынуждающей силы. Если увеличивать амплитуду вынуждающей силы очень медленно, то можно показать, что в пределе бесконечно медленного процесса роста до конечного значения возникают только вынужденные колебания и постоянные

Задача 10. Доказать это утверждение.

Аналогично можно рассматривать уравнение (18.1096) как определение характера колебаний Член в уравнении (18.108), содержащий действует как «вынуждающий», стремящийся заставить колебаться с угловой частотой Если возмущение от нулевого значения нарастает медленно (или адиабатически), то коэффициенты отзываются на колебания только с вынужденной частотой. Однако если заметно изменяется в течение времени, сравнимого с то возникают и «свободные» колебания Тогда возможно, что частота свободных колебаний равна нулю, т. е. член этого типа оказывается постоянным. Нулевое значение можно получить, если учесть, что в отсутствие вынуждающего члена в уравнении (18.8) последнее принимает вид Таким образом, в этом случае приходится считать, что собственная частота равна нулю.

Формула (18.108) представляет общий вид величин при произвольном способе включения потенциала. Если функция имеет компоненты Фурье, соответствующие угловым частотам то коэффициенты будут иметь добавочно большой постоянный член.

Выражение (18.108) можно также применить и при внезапном включении возмущения. В этом случае величины равны нулю для времен, меньших после чего становятся постоянными. Следовательно, имеют вид постоянных, умноженных на «ступенчатую функцию» (Ступенчатая функция равна нулю для и единице для Можно показать, что производная ступенчатой функции равна -функции.

Задача И. Доказать, что Указание. Рассмотреть интеграл -функции.

Таким образом, наш интеграл принимает вид

и

Сравнение этой формулы с выражением (18.13) показывает, что они совпадают.