4. Решение задачи для прямоугольных потенциалов.

В любой области, где потенциал V постоянен, решение волнового уравнения имеет вид

где произвольные постоянные. Решение, зависящее от времени, имеет вид

где Ясно, что первый член представляет волну, распространяющуюся вправо, а второй член — волну, бегущую влево.

При переходе от одной области к другой V меняется, и при этом меняется также длина волны. На границе между областями должны соблюдаться определенные граничные условия. Так как дифференциальное уравнение задачи относительно х второго порядка, то необходимо, чтобы функция и ее первая производная были непрерывны на границах. Это следует из того факта, что и У принимаются конечными. Функция должна быть конечной, ибо

только при этом ее физическая интерпретация как вероятности имеет смысл; величины также должны быть конечны, так как бесконечных энергий не бывает в природе. Из дифференциального уравнения (11.2) видно, что производная всегда ограничена (но не обязательно непрерывна). Но может быть ограниченной, только если непрерывна. Так получается первое граничное условие. Однако для того, чтобы существовало повсюду, согласно простой теории дифференциальных уравнений, необходима также непрерывность функции Это дает второе граничное условие.

Проиллюстрируем применение этих граничных условий с помощью простой задачи, в которой потенциал испытывает только одно скачкообразное изменение, как это показано на рис. 35.

Рис. 35.

Случай .

Предположим, что электроны с некоторой энергией приходят слева и что С точки зрения классической физики мы должны ожидать, что ни один электрон не будет отражаться в точке так как все они имеют достаточную энергию для проникновения в область Выясним теперь, что предсказывает квантовая теория при решении этой задачи. Для ответа на этот вопрос используем оптическую аналогию. Электрон действует в некоторой степени подобно волне, которая приходит слева и сталкивается со скачкообразным изменением потенциала (потенциальным барьером) в точке Это явление эффективно можно описать как внезапное изменение показателя преломления. Так же, как при падении света на стеклянную пластинку, можно считать, что часть волны отражается от барьера, а часть проходит через него.

Строгую квантовую трактовку этой задачи мы начнем с падающего волнового пакета, который представляет электрон, идущий слева. Этот пакет подойдет к барьеру и часть его отразится, а часть пройдет дальше. Отраженная часть волнового пакета будет давать вероятность отражения электрона, а прошедшая часть — вероятность его прохождения дальше. Такое решение будет проведено в этой главы. Здесь же будет приведено более отвлеченное решение, которое однако приведет нас математически простым путем к тем же результатам. Пакет предполагается таким широким, что падающая волна может быть приближенно представлена волновой функцией где Тогда падающая волна даст постоянную во времени плотность вероятности, при которой будет установившийся поток электронов, движущихся вправо. Среднее значение плотности тока вероятности будет (Чтобы, несмотря на наличие тока, поддерживать постоянную плотность вероятности, необходимо слева непрерывно добавлять электроны.)

Имеющуюся также отраженную волну мы запишем так:

Полная волновая функция слева от барьера будет равна

Амплитуда прошедшей волны будет

Постоянные должны быть теперь определены из граничных условий, согласно которым волновая функция и ее первая производная непрерывны в точке Замечая, что

и

мы получим, подставляя

Решения для имеют вид

Таким образом, получены амплитуды отраженной и прошедшей волн, которые обозначены соответственно символами выраженными через амплитуду падающей волны В. Доля электронов которая проходит вправо, равна отношению прошедшего тока к начальному. Поэтому коэффициент прозрачности барьера равен

Отражательная способность барьера равна отношению интенсивностей отраженной и падающей волн

Сумма отражательной способности и прозрачности должна быть по определению равна единице. Для подтверждения этого напишем

Задача 1. Вычислить ток вероятности для этой задачи: а) когда когда Показать, что в обоих случаях он одинаков, и, таким образом, доказать, что вероятность сохраняется. Показать, что ток равен где скорость прошедших частиц, плотность вероятности для этой волны.

Задача 2. Показать, что непрерывность функции и ее производной предполагает постоянство тока вероятности в точке

Заметим, что отражательная способность стремится к нулю, когда стремится к и что она стремится к единице, когда стремится к нулю. Так как

то коэффициент отражения становится большим, лишь когда потен циал V сравним по величине с И все же некоторое отражение существует, как бы ни мал был скачок потенциала

Следует еще раз подчеркнуть, что свойство отражения от резких скачков потенциала является чисто квантовомеханическим эффектом. Оно вытекает из волновых свойств материи и не может быть получено в классической теории. Позже при изучении приближения мы увидим, что при нерезком изменении потенциала (в пределах длины волны электрона) отражения практически не происходит. Классические результаты будут поэтому справедливы лишь при медленном изменении потенциала. Как только потенциал начинает заметно изменяться на расстояниях, сравнимых с длиной волны электрона волновые свойства материи начинают заметно проявляться, и одним из них является свойство отражения от потенциального барьера, величина которого недостаточно велика, чтобы полностью остановить частицу и повернуть ее обратно.

Случай Б .

Все электроны с энергией движущиеся слева от барьера, согласно классической физике, будут отражаться в точке ни один из них не проникнет в область положительных х. Выясним теперь, как решает эту задачу квантовая теория.

Для ответа на этот вопрос исследуем характер решений волнового уравнения, когда В этой области волновое уравнение имеет вид

и решением будет

Заметим, что решения являются вещественными, а не комплексными экспонентами. Для того чтобы вероятность оставалась конечной при необходимо выбрать только решение с отрицательным показателем, т. е. выбрать

При мы проделаем то же, что и раньше, и запишем наиболее общее решение в виде

Если должна быть непрерывной при то

Если производная от должна быть непрерывной в точке то легко показать, что

или

Отсюда мы получаем

Отношение интенсивности отраженной волны к интенсивности падающей равно

Интересно также подсчитать фазу волн. Для этого обозначим Тогда имеем

Написав

мы получим для волновой функции при

В типичном случае волновая функция выглядит более или менее так, как это показано на рис. 36.

Из уравнения (11.18) видно, что волна полностью отражается, так как интенсивность отраженной волны равна интенсивности падающей. Поскольку волновое уравнение предполагает сохранение вероятности, то ни один электрон не проходит за барьер вправо.

Задача 3. Доказать, что ток вероятности равен нулю для случая Б, т. е. при

Последний результат соответствует классическим предсказаниям для этого случая. Все же здесь есть отсутствующая в классической теории новая черта — проникновение экспоненциально спадающего слагаемого волновой функции в область Это предполагает, что электрон может быть найден и в области пространства, где в то время как классически он никогда не может войти в эту область, так как он не имеет для этого достаточной энергии.

Рис. 36.

Для уяснения этого явления нужно вспомнить, что материя не идентична с классической корпускулярной моделью и что электрон обладает также волновыми свойствами, которые могут быть столь же важны, как и корпускулярные (см. гл. 6, п. 11). Область, где соответствует мнимому показателю преломления

Мы уже знаем один случай в оптике, где имеет место мнимое значение и, а именно случай полного внутреннего отражения света. В рассматриваемом случае имеет место точно такой же тип экспоненциального проникновения волны из более плотной среды в менее плотную (см. [21], стр. 497 или стр. 438 перевода). Новое свойство проникновения в классически недоступную область должно поэтому рассматриваться с помощью волновой модели. Это действительно такой эффект, для которого корпускулярная модель совсем не дает объяснения.

Предположим, что мы установили прибор в классически недоступной области, позволяющий измерить положение электрона, например микроскоп. Нет ли здесь противоречия с законом сохранения энергии, так как имеется область, где частицы обладают отрицательной кинетической энергией? В действительности для постановки

такого эксперимента, доказывающего определенно нахождение электрона в этой области, необходимо освещение с такой энергией, что электрону будет сообщена положительная кинетическая энергия и не возникнет никаких противоречий из-за присутствия его в этой области. Для доказательства этого заметим, что любое наблюдение, которое гарантирует нахождение электрона в области, где должно привести электрон в такое состояние, для которого волновая функция представляется волновым пакетом, практически целиком находящимся в области, где Но для образования волнового пакета необходимы осциллирующие волновые функции, которые, интерферируя, взаимно гасятся вдали от центра пакета. Решения волнового уравнения для являются вещественными экспоненциальными функциями в области, где они не являются осциллирующими функциями и не позволяют образовать волновой пакет. Осциллирующими волновыми функциями являются только те, для которых Следовательно, если только электрон находится в состоянии, позволяющем ему быть в области ему нужно сообщить столь большую энергию, чтобы он мог проникнуть в эту область и с классической точки зрения.

Проникновение электрона в область, где кажется парадоксальным лишь в том случае, если пытаться удержаться на той точке зрения, что материя состоит из классических частиц. Однако вследствие существования волновых свойств материи электрон с определенной энергией есть нечто отличное от его классического истолкования. В действительности электрон может иметь определенную энергию, только когда его волновая функция является собственной функцией оператора Гамильтона, т. е. только когда электрон размазан по широкой области пространства. Кинетическая энергия электрона является как раз таким свойством, что она должна становиться положительной, когда электрон локализован в определенной области. Утверждение, что частицы проникают в области отрицательной кинетической энергии, таким образом, не имеет смысла, так как электрон не может быть локализован, т. е. мы не можем приписывать ему корпускулярные свойства, когда он находится в области, приводящей классически к отрицательной кинетической энергии. Говорить о частицах с отрицательной кинетической энергией столь же неверно, как и говорить о взаимодействии частиц в опыте Дэвиссона-Джермера. Вместо этого мы должны сказать, что оба эти эффекта являются результатом таких обстоятельств, для которых волновые свойства материи основные. Действительно, с точки зрения, изложенной в гл. 6, пп. 4—9, процесс измерения положения, буквально говоря, превращает электрон из волнового объекта в корпускулярный. Иными словами, взаимодействие с потенциальным полем, для которого приводит к более полной реализации потенциальных волновых свойств электрона, в то время как взаимодействие с прибором, измеряющим

положение, приводит к более полной реализации его потенциальных корпускулярных свойств.