13. Вещественность средних значений и порядок сомножителей.

Хотя вышеуказанное правило дает верные классические пределы для средних величин оно иногда имеет неоднозначный смысл, так как порядок, в который входят операторы весьма существен, в то время как в соответствующем классическом выражении этот порядок неважен. Мы покажем сейчас, что эта неоднозначность частично устраняется требованием, что среднее значение любой вещественной функции должно быть вещественным при произвольной

Легко показать, например, что среднее значение определенное выше, невещественно. Для этого вычислим интеграл

Интегрирование по частям дает (заметим, что внеинтегральный член исчезает)

Второй член правой части этого выражения равен комплексно сопряженному Следовательно, равно своему комплексно сопряженному плюс аддитивный член; это означает, что не может быть вещественной величиной.