7. Общая форма решения для s-волн.

Для s-волн центробежный потенциал отсутствует и действующий потенциал имеет вид, показанный на рис. 70. Если энергия отрицательна, то имеется точка за которой разность отрицательна. Классически это означает, что частица никогда не достигает точек с радиусом, большим чем а. Величина этого радиуса находится из равенства или За этой точкой решения не колеблются, а имеют в общем случае экспоненциальный характер.

Рис. 70.

При можно пренебречь потенциалом и приближенно оценить асимптотическое поведение функции из уравнения (15.3), решая более простое уравнение

Для того чтобы волновая функция оставалась конечной при , должен равняться нулю коэффициент В при возрастающей экспоненте. Мы увидим, что это требование определяет допустимые значения энергии

В начале координат функция должна равняться нулю. Общую форму решения можно найти с помощью рассуждений, приведенных в гл. При разность положительна, следовательно, если функция положительна, то волновая функция должна иметь отрицательную кривизну. Если разность достаточно велика, то решение может обладать столь большой кривизной, что при становится отрицательным наклон функции За точкой кривизна положительна. В общем случае функция будет стремиться к виду возрастающей экспоненты при но для определенной величины она будет точно соответствовать спадающей экспоненте. Эта величина и будет собственным значением энергии. Волновая функция, полученная таким образом, показана на рис. 70. Она не имеет узлов, кроме неизбежного в начале координат. Поэтому она должна соответствовать наинизшему энергетическому состоянию, поскольку колеблющаяся волновая функция имеет большую кинетическую энергию, чем неколеблющаяся.

В следующем состоянии с большей энергией волновая функция переходит в затухающую экспоненту после того, как она прошла через узел. Поскольку больше меньше, но отрицательна), длина волны в потенциальном поле, равная

меньше, так что эта волновая функция колеблется быстрее, чем решение для меньшей энергии. Для энергетически более высоких состояний имеется больше простора для колебаний, потому что точка возврата соответствует большим значениям радиуса, когда меньше Волновая функция такого состояния схематически изображена на рис. 71.

Рис. 71.

Состояния с еще большими энергиями дадут волновые функции с еще большим числом узлов. В случае прямоугольного потенциала число возможных связанных состояний зависит от глубины потенциальной ямы и от радиуса. Однако мы увидим, что кулоновский потенциал имеет бесконечно большое число связанных состояний. Это вызвано сравнительно медленным убыванием кулоновской силы с расстоянием, настолько медленным, что фактически всегда возможно получить еще большее число колебаний волновой функции при уменьшении следовательно, при увеличении а.

Применение метода ВКБ для приближенного определения энергетических уровней. Для более подробного рассмотрения указанного выше свойства кулоновского потенциала воспользуемся приближением ВКБ, которое применимо, если волновая функция многократно колеблется и имеет некоторое значение даже для более низких квантовых состояний. Однако мы должны быть осторожны и выбирать только такие решения, которые обращаются в нуль в начале координат. Поэтому для решения в приближении ВКБ запишем

Для выяснения поведения функции при применим формулы связи для случая барьера, расположенного справа (см. формулу (12.39)). Заметим, что точка возврата соответствует Для определения перепишем уравнение (15.14а) в такой форме:

Формулы связи (12.39) показывают, что совпадает со спадающей экспонентой лишь при условии (и только при нем):

где целое число, или

Отметим появление члена 3/4 в квантовом условии. Это обусловлено требованием, чтобы волновая функция была равна нулю в начале координат, в отличие от случая одномерной задачи (см. уравнение (12.55)), когда такое требование отсутствовало. Необходимо вычислить интеграл

где . Сделаем сначала подстановку Это дает

Интеграл легко вычисляется и равен Тогда квантовое условие (15.146) принимает вид

Решая его относительно получим

где любое целое число, начиная с нуля. Это решение отличается от точного решения (15.22) тем, что здесь появился член вместо Все же формула (15.156) очень близка к истинной, и в соответствующих пределах различие между нею и точной формулой столь мало, что делается практически незаметным. Эта формула непригодна при малых значениях что связано с грубостью самого приближения ВКБ.

Задача 3. Исследовать применимость приближения ВКБ к волновым функциям для различных величин в случае кулоновского потенциала.

Собственные значения для предельно высоких уровней. Ясно, что при энергетические уровни приближаются все больше и больше и в конце концов переходят в непрерывный ряд (континуум) состояний, который начинается при Плотность уровней с ростом все увеличивается. Поэтому для высоких квантовых состояний уровни настолько сближаются, что трудно определить различие между дискретными квантованными уровнями и непрерывным рядом энергий, предсказываемым классической теорией. Диаграмма энергетических уровней представлена на рис. 6.

Представляет интерес более подробно выяснить причину появления бесконечного числа (континуума) уровней для атома водорода, в противоположность конечному числу уровней в случае прямоугольной ямы. Как уже отмечалось, причина этого заключается в том, что потенциал атома водорода простирается до бесконечности. Возникает вопрос: что произойдет с каким-либо другим потенциалом, непрерывно убывающим при например с или Возникнет ли в этом случае бесконечное число уровней при (как и в атоме водорода) или потенциал будет больше напоминать прямоугольную потенциальную яму и появится конечное число уровней? Здесь мы не будем давать подробный ответ с доказательством, а просто укажем результат: при как возникает бесконечное число энергетических уровней, но если то число уровней будет конечным. Для их тоже будет только конечное число. Доказательство этих положений предлагаем провести читателю в качестве упражнения.

Определение главного квантового числа. Всякий раз, когда функция имеет узел, мы получаем новый энергетический уровень. Поэтому число узлов дает удобную классификацию различных состояний. Число узлов (включая один в начале координат) называется главным квантовым числом состояния и обычно обозначается

символом Это определение применимо только к -состояниям, ниже оно будет обобщено для состояний с ббльшими моментами количества движения.

Ясно, что каждый узел (за исключением узла при определяет поверхность, на которой исчезает волновая функция. В данном случае поверхность является сферической. В более общих задачах удобно определять главное квантовое число как полное число узловых поверхностей, которые в общем случае не обязательно сферические. К этому вопросу мы вернемся после обсуждения решений с ббльшими моментами количества движения.