Теория излучения в рамках принципа соответствия

Для изучения проблемы излучения выясним, что происходит, когда электрон переходит с одной дискретной орбиты на другую. Эта задача по существу аналогична вопросу о том, как происходит переход осциллятора излучения из одного энергетического состояния в другое. Легко видеть, что дискретность одного из этих процессов влечет за собой дискретность другого. Рассмотрим, например, процесс поглощения кванта излучения атомом, который переходит при этом из основного состояния в возбужденное. Мы видели, что в каждом индивидуальном квантовом процессе энергия сохраняется. Так как осциллятор излучения отдает свою энергию в виде одной неделимой порции, то также и атомный электрон должен принять равное количество энергии тем же дискретным способом. Следовательно, нельзя представить себе, что электрон проходит через промежуточные состояния между орбитами. Кажущееся непрерывным движение в классической физике просто отражает факт настолько близкого друг к другу расположения орбит в классическом пределе, что дискретный и скачкообразный характер этих переходов практически становится незаметным. Например, дифференцируя уравнение (2.21), мы находим, что расстояние между орбитами в водороде равно Относительное изменение радиуса для соседних орбит поэтому равно эта величина становится очень маленькой с ростом

Отсутствие полной динамической определенности в процессе перехода кванта от осциллятора излучения к атому приводит и к соответствующему ее отсутствию в процессах перехода электрона с одной орбиты на следующую. Следовательно, при облучении атома светом можно предсказать лишь вероятность перехода атома в возбужденное состояние. Точно так же, если атом находится в возбужденном состоянии, то можно предсказать лишь вероятность излучения им кванта и перехода в состояние с более низкой энергией. Классические динамические законы применимы только тогда, когда система находится в таком высоком квантовом состоянии, что должно быть испущено очень много квантов, прежде чем радиус орбиты испытает заметное относительное изменение. Следовательно, при классическом описании процесса излучения электрон действительно испускает большое число квантов в сравнительно короткое время и проходит через много смежных квантовых состояний, которые настолько близки друг к другу, что процесс кажется непрерывным. При этом испускается настолько много квантов, что различие между действительным числом их и числом, предсказываемым теорией вероятностей, становится малым. Таким образом, мы получаем почти динамически определенный результат.

Задача 9. Простой гармонический осциллятор с частотой 1000 гц имеет энергию Какова средняя статистическая флуктуация в числе испускаемых квантов, если осциллятор изменяет свою энергию на

16. Поглощение излучения.

Рассмотрим теперь вопрос о поглощении излучения. Сначала мы вернемся к классической трактовке поглощения как непрерывного процесса, обусловленного электрическими силами, действующими на частицу. Электромагнитная волна действует на заряженную частицу с силой

Так как в вакууме и так как в большинстве атомов то второй в (2.31) обычно значительно меньше первого. Поэтому можно написать (для плоской волны)

где положение центра атома.

В большинстве случаев потому что длина волны X порядка см, а порядка атомных размеров, т. е. см.

Рис. 8.

Это показано на рис. 8. Таким образом, обычно можно записать

где значение электромагнитного поля в центре атома. Это приближение эквивалентно замене атома точечным диполем с моментом локализованным в центре атома (см. гл. 18, п. 25).

Для иллюстрации вычислим скорость, с которой гармонический осциллятор с собственной частотой первоначально находившийся в покое в положении равновесия, получает энергию от электромагнитной волны с угловой частотой Эту задачу имеет смысл рассмотреть, поскольку результаты, полученные для гармонического осциллятора, по существу таковы же, что и результаты, полученные для любой другой системы, а математические выкладки в ней гораздо проще.

Предположим, что мы имеем падающую волну, поляризованную в направлении х. Тогда, согласно уравнению (2.31), уравнение движения запишется так:

где представляет собой фазу электрического поля в точке в момент времени Граничные условия имеют вид при а решение, соответствующее этим условиям, равно

Выясним теперь общий характер движения. Мы видим, что амплитуда колебаний возрастает и убывает с «частотой биений» Когда частота далека от биения очень частые, и максимальная амплитуда остается все время маленькой; но когда частота близка к то время между биениями становится очень большим, и максимальная амплитуда сильно возрастает. Физически это означает, что когда вынужденная частота далека от собственной частоты осциллятора, то внешняя сила быстро начинает расходиться по фазе с колебаниями, которые она вызывает, так что через короткое время вынуждающая сила начинает действовать против возникшего движения и поэтому уменьшает амплитуду колебаний. По мере того, как вынужденная частота приближается к «резонансной частоте» импульсы от внешнего поля начинают совпадать по фазе с колебаниями в течение все больших промежутков времени, поэтому амплитуда становится все больше, и возрастает период биений. Для определения того, что происходит при найдем предел уравнения (2.34) при Это дает

Легко проверить непосредственным дифференцированием, что уравнение (2.35) является решением уравнения (2.33) при и что оно удовлетворяет граничным условиям. Это — случай точного резонанса, когда амплитуда колебаний безгранично возрастает со временем, потому что вынуждающая сила никогда не расходится по фазе с колебаниями.

Энергия осциллятора равна

Когда частота близка к мы можем аппроксимировать значение х для достаточно больших времен, пренебрегая в правой части уравнения (2.34а) вторым членом по сравнению с первым. Аналогично можно апроксимировать и х, пренебрегая вторым и третьим членами в правой части уравнения (2.346). В результате получим

Мы приходим к заключению, что поглощенная энергия пропорциональна величине которая в свою очередь пропорциональна интенсивности излучения в центре атома. Для малых промежутков времени, когда можно разложить в ряд и найти, что энергия пропорциональна Для больших промежутков времени энергия проходит через максимум и возвращается к нулю, потому что вынуждающая сила перестает совпадать по фазе с колебаниями, которые она создает.

Первый из этих результатов приемлем, так как совпадает с экспериментальными данными. Последние два результата неправильны, поскольку следовало ожидать, что энергия, получаемая осциллятором, должна линейно возрасти со временем. Покажем теперь, что линейное возрастание обусловлено наличием в большинстве практических случаев не точно определенной частотой излучения, а некоторого интервала частот. Фактически существует функция интенсивности дающая энергию в интервале частот от до Например, в случае излучения абсолютно черного тела величина совпадает с функцией распределения Планка (см. (1.326)).

Для получения полной величины поглощаемой энергии нужно проинтегрировать уравнение (2.37) по всем частотам, учитывая, что пропорциональна Это дает

Рассмотрим теперь функцию

Ее максимум лежит в точке и равен Эта функция обращается в нуль при После этого она ведет себя, как

показано на рис. 9, быстро затухая с ростом разности Когда велико, функция при имеет очень острый и узкий пик (ширины и высоты Следовательно, главная часть интеграла в уравнении (2.38) получается от очень узкого интервала частот вблизи В этой области величина которая обычно является непрерывной функцией, изменяется настолько слабо, что ее можно принять за постоянную и потому вынести за знак интеграла и положить в ней Тогда интеграл принимает вид

Этот интеграл можно приближенно вычислить, если заметить, что для отрицательных значений со функция становится исчезающе малой при больших Это происходит потому, что функция дает настолько острый пик при что, как видно из рис. 9, она пренебрежимо мала при а также и для всех отрицательных и ее интегралом от до 0 можно пренебречь. Поэтому, допуская лишь малую ошибку, можно распространить область интегрирования в (2.39) до т. е.

Рис. 9.

Этот интеграл может быть вычислен при помощи подстановки

Это приводит к

Мы получили теперь разумный результат: поглощенная энергия пропорциональна произведению интенсивности на время облучения. Другой важный результат, получаемый из уравнения (2.40), заключается в том, что за время основная часть поглощаемой энергии соответствует интервалу частот

Следовательно, по мере роста времени поглощение происходит в основном во все более узком интервале частот, вблизи резонансной частоты. Хотя каждая частота в этой области вносит в энергию свой вклад, пропорциональный но полная поглощенная энергия пропорциональна только потому что интервал частот, который фактически участвует в поглощении, убывает пропорционально Однако если направить волну точно определенной частоты на поглотитель (например, радиоволну в резонансную полость), то энергия будет флуктуировать с частотой биения в соответствии с уравнением (2.37).

Рассмотрим теперь, как трактуется эта задача в квантовой теории, где энергетические переходы дискретны и кратны величине Согласно принципу соответствия, вероятность перехода нужно выбрать таким образом, чтобы в предельных случаях, где участвует много квантов, получить классическое выражение для поглощаемой энергии в единицу времени. При этом для вероятности поглощения кванта в единицу времени следует выбрать величину

где классически вычисленная по уравнению (2.41) скорость поглощения энергии. Так как то получаем

Рассмотрим теперь вопрос, будет ли эта формула, выведенная в классическом пределе, справедлива для процесса поглощения, в котором участвует лишь несколько квантов. Опыты с фотоэлектрическим эффектом показывают, что скорость поглощения кванта пропорциональна классически вычисленной интенсивности в точке поглощения. Но коэффициент пропорциональности в общем случае не будет точно совпадать с константой, полученной в уравнении (2.42), если в процессе участвует малое число квантов, хотя результаты редко приводят к большой ошибке. Точные результаты получаются в волновой механике (см. гл. 18).

Исследуем теперь, как относятся полученные результаты к двойственной корпускулярно-волновой природе частиц. Рассмотрим, например, волну, падающую на щель А (рис. 10), которая создает электрическое поле справа от щели. Предположим теперь, что открыта вторая щель В и что свет, проходящий через эту щель, создает поле Полное поле равно а интенсивность света пропорциональна величине

Первые два члена справа представляют собой сумму интенсивностей отдельных пучков, а третий дает эффект интерференции. Согласно уравнению (2.43), мы видим, что там, где имеют место темные

интерференционные полосы, предсказанные классическим расчетом, квантовая теория дает нулевую вероятность для поглощения кванта. Можно сделать заключение, что экстраполяция теории, полученной по принципу соответствия в классическом пределе, на случай процессов с небольшим числом квантов приводит к правильному утверждению о двойственной корпускулярно-волновой природе частиц, как это и имеет место в действительности.

Рис. 10.

Или наоборот, можно, используя непосредственные наблюдения, показать, что уравнение (2.43) в случаях с большим числом квантов приводит к правильному классическому выражению для распределения интенсивности в интерференционных полосах. Таким образом, мы опять видим, как тесно связаны квантовые законы с их классическими предельными выражениями.