9. Сложение спинов двух различных частиц.

Рассмотрим для примера две частицы, каждая из которых имеет спин, разный Соответствующий суммарный момент количества движения равен

Чтобы получить волновые функции этой системы, необходимо, как указано в гл. 10, п. 11, взять произведения спиновых волновых функций отдельных частиц. Таким образом, исходя из векторов в матричном представлении которые соответствуют волновым функциям одной частицы, можно построить четыре независимые волновые функции для системы двух частиц:

Функция например, означает, что частица с номером 1 имеет в то время как частица с номером 2 имеет спин

Так как вышеприведенные функции являются наиболее общими, которые можно построить из функций спина двух частиц, то,

следовательно, в соответствии с постулатом разложения произвольная функция может быть разложена в ряд по этим четырем функциям:

Волновую функцию можно также представить в виде вектора из двойных матриц-столбцов, где первый столбец соответствует спиновому квантовому числу первой частицы, а второй столбец — спиновому квантовому числу второй частицы. Таким образом, получаем

Чтобы нормировать волновую функцию, просуммируем отдельно по спиновым квантовым числам каждой частицы и перемножим полученные результаты. Следовательно, чтобы нормировать ф , рассмотрим выражение где верхняя вектор-строка действует на первый вектор-столбец, а нижняя — на второй. Из этого определения ясно, что уже нормированы. Ортогональность определяется обычным путем. Таким образом, для проверки ортогональности и рассмотрим

Суммирование по спину второй частицы выделяет нулевой множитель, что и указывает на ортогональность Аналогично можно показать, что все четыре функции ортогональны.

Задача 7. Доказать, что условием нормировки произвольной волновой функции (17.47) является

При действии на волновые функции, определенные выражениями (17.46) и (17.48), заметим, например, что действует только на левый сомножитель произведения только на правый сомножитель. Тогда, используя выражение получим

Это означает, что уже являются собственными функциями и что соответствует -компоненте суммарного момента количества

движения соответствует а и соответствуют нулевому собственному значению

Построим теперь собственные функции, принадлежащие одновременно операторам Заметим, используя уравнения (17.45), что это эквивалентно получению собственных функций, принадлежащих одновременно операторам и

Оператор например, означает, что действует на левый сомножитель произведения в выражениях (17.48), а на правый сомножитель. Действие оператора происходит раньше действия оператора но так как эти два оператора коммутируют, то порядок их действия несуществен.

Легко проверить, что

Задача 8. Доказать справедливость выражений (17.51).

Формулы (17.51) показывают, что и уже являются собственными функциями оператора с собственными значениями но и таковыми не являются. Поэтому мы ищем волновую функцию в виде которая является собственной функцией Ее можно получить из решения уравнения

где X — собственное значение оператора Используя уравнения (17.51), получаем

Умножив это уравнение на суммируя по индексам спинов отдельных частиц и используя ортогональность функций и получим

Поэтому собственные значения X в этом случае равны 1 и —3. Соответствующие нормированные собственные функции имеют вид

Все три функции соответствуют собственному значению или по уравнениям Но это как раз то, что необходимо для момента количества движения й. Следовательно, эти три функции соответствуют полному спину и трем возможным компонентам в направлении Функция соответствует собственному значению или Это как раз случай нулевого момента. Очевидно, что моменты, которые можно получить для двух частиц со спином, равным как раз те, которые предсказываются правилом сложения векторов в По векторной модели соответствует параллельным спинам, антипараллельным спинам. Три состояния с параллельными спинами иногда называются «триплетным» состоянием, в то время как единственное состояние с антипараллелышми спинами называют «синглетным» состоянием.