11. Использование выражения для вероятности проникновения через барьер в частных случаях.

1) Холодная эмиссия электронов из металлов. Электроны внутри металла движутся в поле с более или менее постоянным потенциалом, но когда они достигают границ металла, то притягиваются обратно в металл с потенциальной энергией порядка от 5 до Сила, толкающая электрон обратно в металл, является результатом действия «воображаемого» заряда, индуцирующегося в металле, когда электрон покидает его поверхность. Ббльшая часть силы действует на очень коротком расстоянии от границы металла, вероятно, на расстоянии одного или двух атомных диаметров (от 3 до см). Потенциальная функция приближенно имеет вид, изображенный на рис. 52. Энергия необходимая для освобождения электрона из металла, называется работой выхода.

Рис. 52.

Рис. 53.

Пусть металл помещен в сильное электрическое поле, направленное таким образом, что оно стремится вырвать электрон из металла. Тогда потенциальная функция представится кривой, подобной той, которая изображена на рис. 53, так как к первоначальному потенциалу добавляется электрический потенциал где электрическое поле и расстояние от поверхности металла. Таким образом, здесь всегда будет такое положение: , в котором

электрон обладает положительной кинетической энергией, даже находясь вне металла, и будет существовать определенная вероятность, что он просочится сквозь потенциальный барьер и покинет металл навсегда. Этот процесс называется холодной эмиссией в противоположность термической эмиссии, которая имеет место, когда электрон приобретает энергию, достаточную для преодоления барьера, в силу беспорядочного теплового движения.

Для вычисления коэффициента прозрачности нужно знать, как изменяется V в области, близкой к поверхности металла. Так как расстояние а обычно значительно больше атомных размеров, то влияние на результат расчета области, в которой потенциальная функция криволинейна (вблизи точки будет мало по сравнению с влиянием остальной области потенциального барьера между точками Это означает, что точный вид криволинейного участка потенциала не очень существен, и мы можем приближенно представить потенциал по всей области от до прямой линией Хотя приближение ВКБ может быть нарушено в области вблизи точки так как потенциал здесь имеет большую кривизну и резкий спад, однако игнорирование этого также не может внести серьезных ошибок в расчет, потому что доля этой области в множителе, определяющем прозрачность, составляет лишь малую часть всегоэффекта. Следовательно, везде можно пользоваться приближением ВКБ и полагать Из уравнения (12.456) тогда получим (замечая, что при )

Зная коэффициент прозрачности, можно вычислить ток, умножая на число электронов, ударяющихся за 1 сек о поверхность металла. Мы видим, что ток должен быстро расти с возрастанием напряженности поля и должен также быть наибольшим для веществ с наинизшей работой выхода Это и наблюдается экспериментально. Однако наблюдается некоторое расхождение между опытом и теорией, а именно, определяемые экспериментально токи значительно больше токов, рассчитанных по формуле (12.47). Это расхождение вызвано тем, что поверхность металла не плоская, а обладает микроскопическими неровностями, которые создают у поверхности металла более сильное электрическое поле, чем поле на значительном удалении от нее. Так как очень чувствительно к величине силы поля то резкое возрастание тока может иметь место, даже когда у поверхности увеличивается всего в два или три раза.

2) Радиоактивный распад. Мы уже указывали, что заряженная частица, такая как протон или -частица, связана в атомных ядрах

громадными силами притяжения, которые имеют очень короткий радиус действия (см. гл. 11, п. 3). Когда частица покидает ядро, то она отталкивается кулоновской силой (см. гл. 11, п. 6). В результате потенциальная энергия имеет вид потенциальной ямы с отталкивающим барьером по краям, как это показано на рис. 39. Поэтому частица может находиться внутри ядра длительное время, даже обладая положительной энергией при условии, что эта энергия меньше максимальной высоты барьера. Среднее время жизни по отношению к эмиссии частицы приведено в гл. 11, п. 6 и равно сек, где коэффициент прозрачности барьера. Для вычисления мы будем пользоваться приближением Если ядро имеет заряд то -частица с зарядом отталкивается электростатически с энергией Чтобы воспользоваться приближением ВКБ, мы должны были бы точно знать, как искривляется потенциал вблизи точки Но так как ядерные силы практически исчезают на расстояниях, значительно меньших, чем то можно, как и в случае холодной эмиссии электронов, рассматривать только электростатическую энергию и считать равным радиусу ядра. Для можно пользоваться формулой

которая была получена независимыми методами ([31], стр. 220 или стр. 168 перевода).

Найдем теперь коэффициент Имеем

где точка, для которой

Интеграл в показателе может быть упрощен при помощи замены

Обозначим Тогда получим (исключая из

Задача 5. Вычислить время жизни -частиц урана (рассмотреть энергию -частиц). Сравнить с результатами для -частицы полония. Выяснить, насколько чувствительно время жизни к энергии. Сравнить результаты с наблюдаемыми величинами и объяснить, какие могут быть разногласия между теорией и опытом.