8. Приближение малых отклонений. Классическая теория возмущений.

Разберем здесь приближенный метод определения функции пригодный для случая малых углов . Малые отклонения, как правило, являются результатом действия слабых сил, а силы обычно будут самыми слабыми, когда частицы очень далеки от центра сил, т. е. когда параметр велик.

Определим прежде всего выражение для угла отклонения . Выберем ось х в направлении первоначального движения, а ось у нормально к нему. Пусть будет начальный импульс, который, конечно, всегда направлен по оси х. Под действием силы частица приобретает у-компоненту импульса, которую мы обозначим через Тогда угол отклонения определится выражением

Следующим этапом является вычисление Так как величина первоначально равнялась нулю, то из ньютоновских законов движения имеем

Если сила сферически симметрична, то где F - полная сила. Тогда

Чтобы вычислить точно этот интеграл, мы должны знать как функции Это равносильно решению уравнений движения. Однако наш метод приближения основан на том, что если отклоняющая сила мала, то частица с примерно постоянной скоростью движется по траектории, которая почти не отличается от первоначальной прямой линии. Так как уже малая величина, то отличия, которые

чаются при вычислении в предположении отсутствия сил, от истинного значения будут второго порядка малости. Поэтому хорошим приближением будет вычисление вдоль «невозмущенной орбиты», т. е. вдоль прямой линии, по которой двигалась бы частица в отсутствие силы. Тогда можно написать

и

Удобно ввести новую переменную В результате, используя соотношения получаем

Это и является искомым результатом. Применим его к некоторым конкретным случаям.

а) Кулоновская сила. В этом случае где заряд рассеивающих частиц в единицах заряда электрона, заряд рассеянной частицы. Такое выражение для силы приводит к соотношению

Из формулы видно, что угол отклонения обратно пропорционален параметру удара Это важный результат. Дифференциальное поперечное сечение рассеяния равно

Отметим несколько существенных моментов.

1) Дифференциальное поперечное сечение рассеяния для заданного угла является быстро убывающей функцией энергии. Физически это объясняется тем, что требуется большая сила для отклонения быстрой частицы, а такая добавочная сила может быть получена только при меньших параметрах удара. Поэтому и происходит быстрое уменьшение с ростом

2) Если то дифференциальное поперечное сечение рассеяния стремится к бесконечности. В действительности интегральное поперечное сечение рассеяния также стремится к бесконечности.

Это объясняется тем, что кулоновская сила принадлежит к типу дальнодействующих сил. Малые отклонения получаются при больших параметрах столкновения, которым соответствуют большие дифференциальные поперечные сечения.

3) В действительности предположение о том, что кулоновская сила остается неизменной на произвольно больших расстояниях, является абстракцией. Например, кулоновские силы, действующие со стороны атомных ядер, экранируются атомными электронами уже на расстояниях порядка нескольких атомных радиусов. Результирующая форма потенциала изображена на рис. 99. Аналогично в ионизированном газе или в электролите ионы данного знака всегда окружены облаком заряда, содержащего ионы противоположного знака, чкоторые экранируют кулоновский потенциал на достаточно больших расстояниях (см. [40], стр. 314). В общем случае в любой реальной задаче имеет место такое экранирование.

Рис. 99.

Хорошим приближением для экранирования кулоновского потенциала является выражение

Экспоненциальный множитель обусловливает то, что сила становится ничтожно малой при

4) При экранировании кулоновского потенциала угол рассеяния 8 стремится к нулю с ростом значительно быстрее, чем если параметр значительно превышает радиус экранирования. В действительности уже совсем близко к радиусу экранирования весь эффект рассеяния становится ничтожно малым. Можно определить минимальный угол, меньше которого поперечное сечение рассеяния перестает возрастать, если в уравнении (21.9а) положить т. е.

На рис. 100 и рис. 101 показаны поперечные сечения рассеяния как функции угла соответственно для неэкранированной и экранированной кулоновской силы.

5) Следует напомнить, что теория возмущений становится неприменимой для больших углов В п. 10 будет получен точный результат для всех значений 0.

б) Закон силы в виде Для этого случая и

Дифференциальное поперечное сечение рассеяния равно

Задача 1. Получить дифференциальное поперечное сечение рассеяния для

Мы видим, что зависимость поперечного сечения рассеяния от энергии и угла определяется законом взаимодействия частиц.

Рис. 100.

Рис. 101.

Следовательно, экспериментальное изучение этих величин дает информацию о законе взаимодействия. Мы вернемся к этому вопросу в п. 11.