16. След, или шпур, матрицы.

Часто в расчетах очень полезной является величина, называемая следом (или шпуром) матрицы. Она определяется как сумма диагональных элементов матрицы:

Существует важная теорема: рлед матрицы не изменяется при унитарном преобразовании. След матрицы в новом представлении равен

Это можно переписать в виде

Так как а является унитарной матрицей, то это выражение сводится к

Итак, ясно, что след инвариантен. Это означает, что его можно вычислить в том представлении, которое окажется наиболее удобным. Если мы выберем унитарное преобразование, которое диагонализирует матрицу, то будем иметь Поэтому след матрицы также равен сумме ее собственных значений.