18. Рассеяние как процесс перехода между различными состояниями в пространстве импульсов.

Начнем с квантовомеханической трактовки задачи рассеяния в импульсном представлении. При этом рассеивающий потенциал рассматривается как причина, обусловливающая процессы перехода из одного состояния в пространстве импульсов в другое. Для описания состояния системы перед рассеянием частицы надо построить падающий волновой пакет, который охватывает малую область импульсов, сконцентрированных около некоторого определенного значения Эта область обычно настолько мала, что на практике можно заменить волновую функцию в пространстве импульсов -функцией, т. е.

Следовательно, в координатном пространстве начальная функция представляет собой плоскую волну

(множитель необходим для нормировки волновой функции). С течением времени появляются другие импульсы, и в общем случае волновую функцию надо представлять как интеграл Фурье, охватывающий все возможные импульсы: Однако удобнее пользоваться рядами Фурье, считая функцию периодической в пределах большой основной области с линейным размером где настолько большая величина, что границы этой основной области будут оказывать ничтожное влияние на процесс рассеяния. Так же как и в задаче электромагнитного излучения (см. гл. 1, п. 4), мы пользуемся периодическими граничными условиями на границах основной области. Тогда любая функция может быть разложена в ряд Фурье следующим образом:

Допустимыми значениями будут такие, которые делают функцию пространственно периодической с периодом, равным т. е. произвольные целые числа). Для определения вероятности изменения импульса надо воспользоваться уравнением Шредингера

Подставляя ряд (21.23а) в уравнение Шредингера, находим

Умножаем теперь это уравнение на и проинтегрируем по всему объему основной области. Используя свойства ортогональности и нормировки экспоненциальных функций, получаем

где

Это и есть уравнение Шредингера в импульсном представлении. Так как при увеличении размеров основной области до бесконечности сумма по в уравнении (21.24) заменяется интегралом, то это по существу интегро-дифференциальное уравнение. Итак, мы видим, что форма уравнения Шредингера сильно зависит от представления, которым мы пользуемся. Теперь удобно сделать подстановку

где

Тогда уравнение (21.24) примет вид

Уравнение (21.26) совпадает с тем уравнением, которым мы пользовались в методе вариации постоянных (см. уравнение (18.6)). Действительно, мы могли получить его и непосредственно из уравнения (18.6), но в некоторых отношениях более поучительно получить его, переходя к импульсному представлению.