21. Гамильтониан заряженной частицы в заданном электромагнитном поле.

Обобщим теперь предыдущую теорию на задачу о движении заряженной частицы в заданном внешнем электромагнитном поле. Другими словами, предположим, что электромагнитное поле целиком создается внешними зарядами и токами, и пренебрежем полями, создаваемыми зарядом, который мы изучаем. Такая задача может возникнуть, например, когда атом находится во внешнем магнитном поле или когда атом облучается светом, испускаемым другими атомами. Наша цель здесь будет заключаться в том, чтобы показать, как квантовомеханически сформулировать такую задачу.

Первый шаг будет заключаться в том, чтобы получить классическую гамильтоновскую функцию. Как мы увидим в задаче 7, с помощью векторного потенциала и скалярного потенциала этот гамильтониан можно записать в таком виде:

где V — часть потенциальной энергии, имеющая неэлектромагнитное происхождение. Отметим, что единственный новый момент здесь заключается в замене вектора на

Уравнения движения получаются из канонических уравнений

Используя вышеприведенный гамильтониан, мы получаем для скорости

Заметим, что если векторный потенциал отличен от нуля, то канонический импульс не равен больше своей обычной величине

Задача 7. Показать, что вышеприведенный гамильтониан приводит к правильным классическим уравнениям движения, а именно:

где и — соответственно напряженности электрического и магнитного полей.

Указание. Использовать формулу

и учесть, что