3. Ширина волнового пакета.

Выясним теперь, как можно определить ширину данного волнового пакета. Эта задача представляет особый интерес, потому что полученные в ней результаты используются позже в связи с выводом соотношения неопределенностей.

Начнем с рассмотренных выше двух примеров. В первом случае интенсивность была равна

Эта величина становится уже достаточно малой, когда разность принимает значения заметно большие, чем или когда Аналогично во втором случае интенсивность начинает уменьшаться, когда Так как в обоих случаях величины являются мерой интервала волновых чисел присутствующих в пакете, то мы приходим к выводу, что произведение ширины пакета в -пространстве на его ширину в -пространстве, порядка единицы, т. е.

Это означает, что пакет, узкий в -пространстве, должен быть очень широким в -пространстве, и наоборот.

Легко показать, что этот результат справедлив для любого пакета, имеющего форму (3.3), если -плавная функция, не совершающая слишком быстрых колебаний. Рассмотрим функцию (3.3),

чтобы показать это. Мы видим, что в интеграле вклады от различных значений А складываются в результате интерференции, если они удовлетворяют неравенству

но для больших значений А соответствующие им подынтегральные выражения начинают колебаться и расходиться по фазе. Так как функция велика только в ограниченной области то при условии имеет место резкое затухание, обусловленное интерференцией. Следовательно, мы опять приходим к тому же результату

Полученные результаты можно сформулировать в более простом виде; для построения пакета с исчезающе малой интенсивностью вне области необходимо просуммировать волны, представляемые такими функциями, как которые находятся в фазе при но расходятся по фазе при так что должно иметь место неравенство Заметим, однако, что этот результат требует одинакового знака складываемых волн. Если величина была бы быстро колеблющейся функцией, то это неравенство не было бы всегда справедливо.

Аналогичные результаты можно получить и для связи между интервалом времени необходимым для прохождения импульса через данную точку, и интервалом угловых частот необходимых для образования такого импульса. Так, электрическое поле в данной точке может быть выражено в виде

Эта функция представляет собой импульс, который велик только вблизи и обладает шириной подчиняющейся соотношению

Факт наличия интервала частот для импульса известен, например, в радиотехнике, мы встречаемся с понятием «ширины полосы» радиопередатчика. Для передачи импульсов звуковой частоты по радио необходимо, чтобы радиоволна меняла свою частоту на величину, по порядку равную той звуковой частоте, которую требуется передать. Если приемник настроен на полосу частот шириной то самый короткий импульс, который может быть им принят, имеет продолжительность