27. Зеемановское расщепление энергетических уровней с различными квантовыми числами m.

С помощью гамильтониана (15.49) можно решить ряд задач, например, вычислить зеемановское расщепление энергетических уровней в магнитном поле. Для этого выразим оператор в сферических полярных координатах:

где приведенная масса. Заметим, что сферически симметричный потенциал, имеющий, как предполагается, обычный для атомов вид. Вышеуказанный гамильтониан приводит к волновому уравнению, отличающемуся в двух отношениях от уравнения в случае отсутствия магнитного поля.

1) Появляется член который пропорционален полю и добавляется к

2) К эффективному потенциалу добавляется член Последний член включает в себя сомножитель поэтому для слабых магнитных полей он дает поправку второго порядка, которой можно пренебречь. Если ограничиться учетом эффектов первого порядка, то в гамильтониане следует сохранить лишь один добавочный член, а именно Отметим, однако, что в этом приближении гамильтониан по-прежнему коммутирует с операторами так что собственные значения и можно определить одновременно. Предположим, что тогда находим

Отсюда мы видим, что единственное влияние магнитного поля заключается в добавлении к энергии постоянной величины, пропорциональной магнитному квантовому числу Следовательно, поскольку уровни с различными имеют теперь различные энергии, часть вырождения снимается; это показано на рис. 73. В первом приближении волновые функции не меняются, так как если пренебречь членом то радиальное волновое уравнение остается точно тем же самым, как и ранее.

Факт изменения энергетических уровней можно объяснить очень просто. Легко показать (см., например, [11], стр. 384), что электрон, вращающийся по орбите с моментом количества движения имеет магнитный момент Энергия магнитного момента в магнитном поле равна

(предполагается, что поле направлено вдоль оси ). Приняв находим

Магнитный момент электрона с единичным механическим моментом называется магнетоном Бора. Он равен Таким образом,

магнитный момент электрона в атоме равен целому числу, умноженному на магнетон Бора.

Полученное выше расщепление энергетических уровней приводит к расщеплению и спектральных линий, излучаемых атомом. Это расщепление называется эффектом Зеемана, для изложения полной теории его надо рассмотреть сначала влияние спина электрона. (Эффект Зеемана без учета влияния спина будет рассмотрен в гл. 18. Теорию эффекта Зеемана с учетом влияния спина см. в [11], стр. 399, а также в [40].)

Квадратный член может играть роль в случае очень сильных магнитный полей, когда он приводит к общему сдвигу и перераспределению энергетических уровней, что связано с эффектом Пашена — Бака (см. [40]).