17. Интенсивность волны внутри ямы.

Интересно рассчитать отношение плотностей вероятности для волны внутри ямы и для падающей волны. Используя уравнения (12.57а) и (12.62), получаем

где импульс в яме, а —импульс в области

Для сильно возбужденных квантовых состояний тригонометрические функции совершают много колебаний внутри ямы. Так как каждое колебание занимает лишь малую часть всей ширины ямы, то удобно рассмотреть среднюю плотность в данной области. Если это сделать, то можно заменить каждую из тригонометрических функций на Тогда, предположив, что велико, получим

Заметим, что вдали от резонанса это отношение обычно мало (при больших ), и волновая функция имеет вид, подобный тому, который изображен на рис. 58. Однако при резонансе отношение Фпад велико, и в результате волновая функция внутри ямы также велика. Так как в этом случае прошедшая волна имеет ту же интенсивность, что и падающая , то теперь волновая функция

имеет вид, изображенный на рис. 59. Таким образом, очень интенсивная волна, запертая в яме, отражается от обоих барьеров внутри ямы в такой фазе, что эта волна постепенно усиливается и очень медленно просачивается из ямы.

Рис. 58.

Образование волны между барьерами вблизи резонанса весьма напоминает процесс возникновения интенсивных стоячих волн в органной трубке или в резонансной полости с электромагнитными колебаниями. В последних примерах малый периодический импульс, сообщаемый извне, может создать интенсивную волну внутри при условии, что этот импульс имеет частоту, близкую к частоте резонирующей системы.

Рис. 59.

Чем меньше в системе потери на трение, излучение и т. д., тем больше амплитуда волны и острее резонанс. Квантовомеханическая задача совершенно подобна этой, так как волна, приходящая извне, ведет себя так же, как внешняя возбуждающая сила гармонического осциллятора. Если эта волна имеет такую же частоту, как и волна, испытывающая многократное отражение внутри ямы, то там возникает интенсивное колебание. Чем меньше потери, обусловленные прозрачностью барьера, тем интенсивнее волна в яме и тем острее резонанс. Таким образом, мы видим, что существует очень близкая аналогия рассматриваемого резонанса с механическими и электрическими резонансными явлениями.

Высокая прозрачность при резонансе вызывается тем, что волна в яме так велика, что даже если малая часть ее просочится сквозь барьер, то это дает заметный результат. Вследствие большой

амплитуды появляется таюце большая вероятность попадания в область между барьерами. Это обусловлено тем, что ток вероятности через барьер пропорционален поэтому если амплитуда достаточно велика, то компенсируется эффект малой прозрачности барьера. Зависимость прозрачности от интенсивности волны между барьерами является специфически волновым явлением. Трудно, например, представить себе, почему проникновение частиц через барьер может зависеть от того, что произойдет с ними после того, как они уже попадут внутрь ямы. Аналогию с явлением максимума прозрачности для волны вблизи резонанса можно усмотреть в простых гармонических колебаниях маятника. Если заданная внешняя периодическая сила находится в резонансе с маятником, то скорость передачи энергии маятнику пропорциональна амплитуде колебаний, которая уже существует.

В первом приближении волна внутри барьера напоминает волновую функцию для связанного состояния, так как она велика в ограниченной области пространства. Более того, если мы образуем волновой пакет, то увидим, что при рассмотрении его как функции времени он входит в яму, задерживается там на длительное время и медленно просачивается наружу сквозь барьер. Поэтому, пока волновой пакет находится в яме, его очень трудно отличить от волновой функции связанного состояния. Действительно, метастабильные состояния в яме с барьерами значительно больше походят на связанные состояния, чем на метастабильные состояния в потенциальной яме без барьеров, главным образом потому, что их время жизни значительно больше из-за малой прозрачности барьеров.

Рис. 60.

Такого же типа весьма интенсивная волна получается при полном внутреннем отражении света внутри тонкой стеклянной пластинки, которая расположена с очень тонким воздушным зазором между двумя толстыми стеклянными пластинками, как это показано на рис. 60. Для определенных длин волн наблюдается полная прозрачность, и свет внутри средней стеклянной пластинки имеет очень большую интенсивность. Это можно обнаружить с помощью маленького дефекта в средней пластинке, который ярко светится для определенных цветов.