5. Связь устойчивости атомов с соотношением неопределенностей.

Из соотношения неопределенностей вытекает, что в среднем локализованный электрон должен иметь большой импульс и, следовательно, большую кинетическую энергию. Поэтому для локализации частицы необходима затрата энергии. Если ничто не препятствует движению электрона, то неопределенность импульса стремится разрушить с течением времени начальную локализацию частицы. Однако если электрон локализовать внешними силами, например, поместить в потенциальную яму, то упомянутый выше импульс будет создавать давление на стенки ямы, аналогично давлению,

создаваемому молекулами газа. Таким образом, приближенно можно считать, что постоянно локализованный электрон находится под давлением. Если это давление снять, то электрон начнет двигаться от места его начальной локализации точно так же, как молекулы газа приудалении стенок сосуда, в котором они находились.

Эта аналогия точна лишь частично, так как здесь не учитываются интерференционные явления, связанные с волновыми свойствами электрона, но она весьма полезна для описания некоторых квантозых свойств электрона. Например, этой аналогией можно воспользоваться для объяснения вопроса о том, почему электрон в атоме водорода не продолжает излучать энергию вплоть до того, пока он не упадет на ядро, как это предсказывает классическая теория. Это происходит потому, что, согласно соотношению неопределенностей, электрон обладает импульсом следовательно, энергией локализующей электрон внутри области Этот импульс создает давление, которое стремится противодействовать локализации электрона. В атоме давлению противодействует сила притяжения электрона к ядру. Электрон будет находиться в состоянии равновесия, когда сила притяжения уравновешивает эффективное давление. Это определяет средний радиус наинизшего квантового состояния. Состояние равновесия можно определить из условия, что полная энергия (кинетическая плюс потенциальная) должна быть минимальной. В атоме водорода потенциальная энергия по порядку величины равна Тогда для полной энергии будем иметь

Полученное значение дает радиус первой боровской орбиты. Разумеется, все эти оценки носят не точный, а лишь качественный характер. Но они указывают путь для получения, в общем, правильных качественных результатов. Такая качественная трактовка очень полезна для приближенного описания свойств сложных атомов, где вычисления или очень трудны, или практически невозможны. Согласно этому представлению, электрон можно, вообще говоря, локализовать в области с радиусом меньшим, чем у первой боровской орбиты, но это требует затраты энергии и не может произойти, если электрон предоставлен самому себе и обладает энергией, соответствующей наинизшей боровской орбите. Однако если

по какой-либо внешней причине электрон первоначально был бы локализован в ядре, то результирующая кинетическая энергия была бы настолько велика, что через короткое время электрон должен был бы совсем покинуть атом

Это ограничение в локализуемости электрона присуще корпускулярно-волновой природе материи. Следовательно, для того чтобы локализовать электрон в очень малом объеме пространства, надо иметь очень высокие компоненты Фурье в волновой функции электрона и, следовательно, возможность обладания очень большими значениями импульсов. Невозможно заставить электрон занять вполне определенное положение и оставаться там в покое.

Задача 1. а) Какая (в среднем) требуется кинетическая энергия для локализации массы в с точностью до

б) Какая требуется энергия, чтобы локализовать Землю с точностью до

в) Какая требуется энергия для локализации протона в пределах атомного радиуса

г) Какая требуется энергия, чтобы локализовать электрон в тех же пределах? Можно ли сделать какие-либо выводы из этой задачи?

Задача 2. Вычислить среднее давление, необходимое, чтобы удержать электрон внутри ядра, радиус которго равен