5. Шрёдингеровский метод факторизации.

Хотя описанной выше процедурой обычно и пользуются при решении задачи гармонического осциллятора (см. [10], стр. 67—72), так же как и для многих других подобных задач, но мы используем здесь простой метод, развитый Шрёдингером ([37]; см. также [4], гл. 6), который, однако, ограничен в своих применениях. Несмотря на это, как мы увидим, его можно применить к решению ряда задач, которые будут

рассмотрены ниже, и, в частности, к задаче квантования момента количества движения (см. гл. 14).

Метод заключается в разложении оператора Гамильтона на произведение двух операторов, каждый из которых содержит только первые производные. В нашей задаче это можно сделать, так как

Тогда уравнение (13.3) может быть записано в следующем виде:

где собственная функция, принадлежащая собственному значению Затем необходимо подействовать на это уравнение слева оператором этом заметим, что

Поэтому получаем

Полагая, что является новой волновой функцией, получим

Следовательно, если собственная функция уравнения Шрёдингера, соответствующая собственному значению то собственная функция того же уравнения, соответствующая собственному значению Таким образом, задавая какое-нибудь одно решение, можно всегда получить другое. Кроме того, если собственное значение, то также должно быть допустимым собственным значением.

Эту процедуру можно продолжать до бесконечности, и, следовательно, если собственное значение, то тоже — собственное значение, где целое число. Но если делается достаточно большим, то собственное значение (и соответственно энергия) будет постепенно становиться отрицательным, так как пропорционально энергии. Но можно легко показать, что энергия гармонического

осциллятора всегда положительна. Для среднего значения энергии имеем

Интегрирование первого интеграла по частям (заметим, что внеинтегральный член исчезает, так как при ) дает

Оба интеграла по определению положительны, следовательно, Но для собственной функции

так как предполагается, что нормирована. Следовательно, все собственные значения и соответственно должны быть положительны. Как можно избежать это противоречие? Только, если наинизшее положительное значение таково, что . В этом случае нельзя получить решений с отрицательным Умножая последнее уравнение на оператор — имеем

Из выражения (13.10) видно, что наинизшим значением должно быть Тогда допустимыми значениями будут только значения где целое число. Поэтому собственные значения будут

а собственные значения будут

Следовательно, мы доказали, что собственные значения гармонического осциллятора точно равны собственным значениям, полученным с помощью приближения ВКБ (уравнение (12.55)), даже с точностью до полуцелого квантования энергии.

Задача 1. Объяснить, почему наинизшее состояние осциллятора не может обладать нулевой энергией.