2. Движение импульсов света.
До изложения теории де Бройля для волн вещества полезно рассмотреть распространение световых лучей и детально исследовать связь между траекторией луча и волнами, составляющими этот луч. Это представляет не только самостоятельный интерес, но и позволяет также пояснить рассматриваемые процессы в терминах достаточно хорошо известных явлений световых волн. Кроме того, на этом примере можно проиллюстрировать необходимые математические методы.
Начнем с импульса света («цуга волн»), который можно получить, например, с помощью затвора, открываемого на ограниченное время 
. В общем случае такой импульс трехмерный: он имеет длину 
в направлении движения импульса и диаметр, зависящий от самого узкого размера отверстия, через которое должен пройти свет, а также и от расходимости пучка лучей после прохождения этого отверстия. Если размеры импульса велики по сравнению с длиной волны, но малы по сравнению с размерами аппаратуры, то световой пучок действует как частица (или группа частиц), локализованная в объеме цуга волн и движущаяся со скоростью света.
Рассмотрим сначала случай, когда параллельный пучок света нормально падает на затвор, который остается открытым такое короткое время, что ее намного меньше, чем диаметр импульса. Это по существу одномерный случай, так как в направлениях, перпендикулярных движению импульса, ничего существенного не происходит. Импульс просто распространяется со скоростью с в первоначальном направлении движения, которое мы принимаем за направление х.
Обычная плоская волна определенной длины волны X размазана по всему пространству и потому не может быть использована для
описания движения импульса, который локализован в сравнительно узкой области. Чтобы получить волну, которая ограничена определенной областью пространства, мы должны построить так называемый волновой пакет. Волновой пакет содержит группу волн с несколько различными длинами волн, фазы и амплитуды которых выбраны таким образом, что при интерференции волны усиливают друг друга только в очень небольшой области пространства, вне которой результирующая амплитуда их быстро спадает к нулю из-за интерференции. Амплитуда 
одномерного волнового пакета (представляемая, например, 
-ком юнентой электрического поля) будет в общем случае изображаться кривой, показанной на рис. 11. Можно построить волновой пакет, взяв плоскую волну и проинтегрировав ее по малой области длин волн. Так, например,
Рис. 11.
Если построить график этой функции от 
то вещественная часть 
будет иметь вид, показанный на рис. 12 
.
Рис. 12.
Мы видим, что амплитуда колебаний достигает максимума в точке 
падает до нуля при 
после чего превращается в быстро затухающую колеблющуюся функцию. Таким образом, мы получили
волновую функцию, сконцентрированную в пакет. В подобной функции вещественная и мнимая части быстро колеблются как функции переменной 
Интенсивность волны пропорциональна квадрату максимальной амплитуды колебания. Если, как это обычно бывает, длина волны 
намного меньше, чем ширина пакета 
то этот максимум хорошо апроксимируется квадратом абсолютного значения комплексной функции 
Таким образом, получаем
Для получения пакета более общего типа умножим 
«весовую» функцию 
которая велика вблизи точки 
и быстро затухает на очень близких расстояниях 
Рассмотрим здесь только функции, которые не совершают быстрых колебаний внутри области 
тогда функцию 
можно представить. кривой, изображенной на рис. 13.
Рис. 13.
Заметим, что качественно применение весовой функции эквивалентно интегрированию по малой области длин волн. (Влияние выбора 
в виде быстро колеблющейся функции будет исследовано ниже.) Далее, можно показать, что волновая функция в виде
концентрируется в пакет. Для доказательства этого заметим, что при 
аргумент экспоненциальной функции равен нулю для всех 
следовательно, в интеграле вклады от различных значений 
совпадают по фазе и в сумме дают большую величину. По мере роста разности 
множитель 
становится быстро колеблющейся функцией и интеграл от нее стремится к нулю, т. е. 
-функция велика только вблизи 
В точках, удаленных от 
вклады в интеграл от различных значений 
гасят друг друга из-за интерференции. Следовательно, любая функция, определяемая таким образом, имеет форму волнового пакета.
В качестве примера выберем функцию 
в виде 
Этот выбор обусловлен тем, что он приводит к простым
-пространстве приводит к такой же гауссовской функции в 
-пространстве. Это единственная функция, обладающая такой особой симметрией в 
и 
-пространстве. Заметим также, что результирующий пакет имеет максимум при 
и становится исчезающе малым при больших значениях 