17. Преобразование к вращающейся системе осей.

В п. 7 было показано, что в качестве оси можно выбрать произвольное направление. На первый взгляд кажется, что выбранная ось имеет какое-то особое значение, поскольку в ее направлении — и ни в каком другом — квантуется момент количества движения. Однако мы покажем, что, несмотря на квантование только одной составляющей момента количества движения, ни один из результатов, имеющий физический смысл, не зависит от выбора оси. Для доказательства этого покажем, что можно получить ту же самую волновую функцию и, следовательно, те же самые вероятности для всех физических величин, имея дело с системой координат, в которой оси повернуты на произвольный угол относительно первоначальных осей.

Начнем со случая, когда момент количества движения равен нулю Тогда также а волновая функция даже не является функцией от уравнение Это означает, что если повернуть координатные оси, то волновая функция не меняется, и в новой системе координат она по-прежнему соответствует собственным значениям Поэтому ясно, что в этом случае никакие физические результаты не зависят от выбора осей.

Для больших значений момента количества движения остается справедливым вывод, что не меняется при повороте осей. Это следует из того, что скаляр. Поэтому величина I не меняется. Однако можно ожидать, что изменяется составляющая момента количества движения. Чтобы показать, каковы эти изменения, рассмотрим случай В первоначальной системе координат тремя нормированными волновыми функциями являются следующие (см. уравнения (14.47) и (14.62)):

Для иллюстрации рассмотрим поворот на угол около оси у. При этом удобно выразить волновые функции следующим образом:

Старые координаты связаны с новыми соотношениями

Тогда получаем

Это означает, что в новой системе координат каждая функция становится линейной комбинацией собственных функций Например, если в старой системе координат то в новой системе может быть равно +1, 0 и —1. Относительные вероятности осуществления этих значений определяются коэффициентами соответствующих волновых функций. Таким образом, получаем

Сумма этих вероятностей, как и должно быть, равняется единице.

Задача 5. Доказать, что собственное значение не меняется при преобразовании (14.72).

Представляет интерес рассмотреть частный случай, когда В этом случае так что частица, у которой в старой системе при измерении в новой системе имеет с равной вероятностью или Но так как (в новой системе) то же самое, что и х в старой системе, то можно сделать вывод, что частица, у которой при измерении имеет с равной вероятностью или

Заметим, что собственная функция для образуется интерференцией двух различных собственных функций Из этого следует вывод, что нулевое значение является взаимным (или интерференционным) свойством двух состояний Поэтому частицу с нельзя рассматривать как имеющую определенное значение вместо этого ее надо рассматривать как находящуюся одновременно в двух состояниях. Это — другой способ выражения факта, что наблюдаемые величины нельзя измерить одновременно, факта, который уже был получен из некоммутативности операторов

Теперь можно выяснить, что происходит с волновой функцией частицы, для которой , когда измеряется Волновая функция распадается на две части (см. гл. 6, п. 3 и гл. 22, п. 9), каждая из которых соответствует определенному значению и содержит неопределенный фазовый множитель что уничтожает условия когерентности для интерференции. Следовательно, перед измерением волновая функция при подстановке равна (см. уравнения (14.72))

После измерения она равна

Хотя значение было определено (она равна или +1, или —1) действием измерительной аппаратуры, значение нельзя определить; например, только тогда, когда волновая функция

Итак, после измерения мы имеем смесь двух значений Вообще из сказанного выше ясно, что волновая функция, соответствующая определенному значению имеет такую структуру, что невозможно определить, если имеет собственное значение, и наоборот.