5. Проникновение через барьер.

Интересно выяснить вопрос, встречаются ли случаи, когда проникновение частиц в классически непроницаемую область приводит к физически важным результатам. На это можно ответить, что если область, где имеет конечную ширину, то частицы могут «проникать» сквозь потенциальный барьер, который так высок, что они никогда бы не могли пройти через него с классической точки зрения. Предположим, например, что потенциал имеет вид, изображенный на рис. 37.

Рис. 37.

В интервале от до Согласно классической теории, поток частиц, идущих слева, будет полностью отражен. Однако вследствие волновой природы материи есть некоторая вероятность, что частицы пройдут через барьер и, как мы покажем, они действительно могут попасть в область где

Решение этой задачи начнем с рассмотрения области справа от барьера, где Частиц, приходящих справа, нет, но есть частицы, идущие со стороны барьера вправо. Волновая функция в этой области поэтому должна иметь вид

где Внутри барьера наиболее общим является решение

где Заметим, что теперь нет надобности отбрасывать экспоненциально возрастающее решение, так как область, где имеет конечные размеры. Для непрерывности и в точке а необходимо, чтобы

Разрешая эти уравнения относительно получаем

Рассмотрим случай, когда иными словами, предположим,

что показатели экспонент сильно изменяются от одной границы барьера к другой. Заметим, что тогда На границе барьера, где главным членом волновой функции является член, содержащий

Когда волновая функция имеет вид

Для непрерывности в точке необходимо, чтобы

Если барьер широкий, то можно в первом приближении пренебречь В. Тогда получим

Интересно найти отношение интенсивности прошедшей волны к интенсивности падающей, т. е. коэффициент прозрачности

Полученный результат показывает, что существует малая вероятность проникновения частицы через потенциальный барьер, который она никак не может преодолеть, согласно классической теории. Вероятность быстро убывает с увеличением ширины барьера, а также с ростом его высоты.

Как указано в свойство проникновения через барьер полностью обязано своим существованием волновым свойствам материи и совершенно подобно полному внутреннему отражению световых волн. Если две стеклянные пластинки помещены близко одна к другой, но не касаются друг друга, то свет будет проходить от первой пластинки ко второй, даже если угол падения больше критического. Интенсивность прошедшей волны, однако, убывает экспоненциально с толщиной слоя воздуха. Здесь причина пропускания света точно та же, что и в случае волн электронов, а именно экспоненциальное

проникновение световых волн в область мнимого показателя преломления.

Общий характер волновой функции представлен схематически на рис. 38. Большая часть падающей волны отражается, но малая доля проходит через барьер в область с

Рис. 38.

Для вычисления коэффициента отражения необходимо использсвать точное решение, не пренебрегая коэффициентом В. Коэффициент отражения равен

Задача 4. Доказать (с помощью точного решения), что Вычислить ток вероятности внутри барьера и показать, что он равен току прошедшей волны. Отсюда проверить сохранение вероятности для этого случая. (Заметим, что ток в этом случае вызывается эффектами интерференции экспоненциально возрастающих и экспоненциально убывающих решений. Поэтому в этой области нельзя пренебрегать меньшим членом решения, если вычисляется ток.)