6. Релятивистские теории.

При попытке обобщения квантовой теории на релятивистскую область возникают серьезные трудности. Отметим общий характер некоторых из них.

Первым шагом является выбор соотношения между которое при классической связи между энергией и импульсом должно приводить к правильному описанию движения волновых пакетов в классическом пределе. Простейшее соотношение, приводящее к таким результатам, имеет вид

Оно эквивалентно классическому соотношению

Легко показать, что соотношение (4.10) приводит в трехмерном случае к волновому уравнению

Задача 5. Вывести уравнение (4.11), а также показать, что соотношение (4.10) приводит к правильному классическому пределу для движения волновых пакетов.

Дальнейшей задачей является определение функции удовлетворяющей всем требованиям п. 2, включая и дополнительное требование, что полная вероятность инвариантна к преобразованию Лоренца. Заметим прежде всего, что в предельном случае эта теория должна переходить в обычную нерелятивистскую теорию. Поскольку в последней волновая функция комплексна, то и в релятивистской теории она также должна быть такой, несмотря на второй порядок релятивистского волнового уравнения (4.11), что в свою очередь требует вещественности волновой функции. Тот факт, что для каждого существует две частоты указывает на появление новой переменной. (Смысл этой новой переменной будет обсуждаться позже. Мы увидим, что она существенна

только в релятивистской области частот в нерелятивистской области всеми ее эффектами можно полностью пренебречь.)

Итак, перейдем теперь к определению функции Так как уравнение (4.11) второго порядка, то должна зависеть от и от как это показано в п. 5.

Приведем два примера функций, для которых вероятность сохраняется в силу уравнения движения:

Задача 6. Доказать, что выражения (4.12) и (4.13) удовлетворяют сохранению вероятности.

Первая из этих функций не может быть использована как функция, определяющая плотность вероятности, потому что вероятность не всегда положительна. Действительно, если выбрать то это дает в то время как при получаем —1. Следовательно, здесь всегда существует возможность отрицательных значений Во втором случае всегда положительна, но и этот выбор неприемлем, потому что он не приводит к релятивистски инвариантному определению полной вероятности. Чтобы показать это, рассмотрим волновую функцию в таком виде: Это дает

Таким образом, плотность вероятности преобразуется как квадрат энергии, которая является -компонентой -мерного тензора. Поэтому можно показать, что полная вероятность, преобразующаяся подобно энергии, не является инвариантной.

Задача 7. Доказать приводимые выше утверждения.

Можно показать в общем случае, что нельзя построить положительно определенную функцию, выражающую плотность вероятности, которая удовлетворяла бы уравнению второго порядка (4.11) и приводила бы к лоренцевски инвариантной полной вероятности. Предлагалось несколько путей устранения этой трудности.

1) Дирак ([4], гл. 12) построил релятивистское волновое уравнение первого порядка, вводя четыре комплексные волновые функции. Добавочные волновые функции соответствуют добавочным переменным, которые можно связать со спином и зарядом электрона. Таким путем удалось получить сохранение вероятности, а также точное описание многих релятивистских свойств электрона, которое не удалось правильно сделать никакой другой теории,

2) Паули и Вайскопф [23] решили отказаться от предположения о сохранении числа частиц. Таким образом они избавились от определения сохраняющейся функции, выражающей плотность вероятности. При этом они руководствовались для релятивистской области энергий или более) возможностью поглощения фотона, могущего превращаться в не существовавшую ранее пару электрон — позитрон. Для нерелятивистской области этот процесс невозможен, и поэтому вероятность сохраняется. Теория Паули — Вайскопфа переходит в теорию Шрёдингера в нерелятивистском пределе.

Проблема построения релятивистской квантовой теории все еще встречается с серьезными трудностями [24]. Имеются убедительные доказательства, что метод Дирака является, по-видимому, очень хорошим приближением для электронов, в то время как метод Паули и Вайскопфа может быть применен к -мезонам. Здесь не имеет смысла вникать в детали, но главный вывод, который может быть извлечен из этого пункта, заключается в том, что формулировка квантовой теории сильно зависит от природы системы, которую мы хотим описать. При построении теории необходимо, с одной стороны, соответствие ее результатов опытам и, с другой стороны, логическая непротиворечивость самой теории.