12. Собственные значения и собственные функции операторов.
Мы видели, что в общем случае, когда система находится в данном квантовом состоянии, т. е. когда задана волновая функция, наблюдаемую величину любой переменной нельзя предсказать точно — она флуктуирует около некоторого среднего значения от одного измерения к другому. Можно ли привести систему в такое квантовое состояние, в котором некая переменная имеет определенное, предсказываемое и воспроизводимое значение без флуктуаций? Да, это возможно.
Для того чтобы переменная О имела одну и ту же величину при всех наблюдениях, необходимо, во-первых, чтобы ее средняя флуктуация равнялась нулю, т. е.
Во-вторых, необходимо, чтобы среднее значение любой функции О равнялось этой же функции от среднего значения, т. е.
Если это условие не соблюдается, то можно сделать вывод, что есть моменты, когда О отклоняется от средней величины.
Ясно, что одним из способов удовлетворения этому условию является такой выбор функции 
где С — константа. Если это соотношение удовлетворяется, то С называется собственным значением или, характеристическим значением, оператора О, а 
называется собственной функцией, или характеристической функцией, принадлежащей собственному значению С.
Если уравнение (10.29) удовлетворяется, то, так как 
нормирована, мы имеем
Аналогично имеем
Следовательно, для произвольной функции, выраженной в виде степенного ряда, мы получаем
Итак, если 
собственная функция оператора О, то среднее значение произвольной функции О равно этой функции от среднего значения. Следовательно, отсутствуют флуктуации в величине О. Однако это не означает, что нет флуктуаций в величинах других операторов. Напротив, когда наблюдаемая величина, например импульс 
имеет заданное определенное значение, то мы уже знаем из соотношения неопределенностей, что сопряженная переменная х должна быть полностью неопределенной.
Можно показать, что если 
не является собственной функцией оператора О, то величина О должна обладать некоторой флуктуацией.
Задача 9а. Доказать вышеприведенное положение.
