24. Исследование процесса рассеяния в координатном представлении.

Обратимся теперь ко второму способу рассмотрения проблемы рассеяния, а именно к волновому описанию процесса рассеяния. В импульсном представлении оказалось более удобным решать задачу в рамках теории возмущений, зависящей от времени. Однако при рассмотрении этой задачи в координатном представлении оказывается удобнее начать решение с волновых функций стационарных состояний и лишь позже определить временною зависимость, образуя волновые пакеты более или менее так, как это было уже сделано в случае задачи о движении свободной частицы (гл. 3, п. 2) или резонансного захвата частиц в потенциальной яме (гл. 11, п. 17). При таком решении начинают с изучения падающей волны. Часть этой волны отклоняется так, как было описано в п. 17, и по интенсивности рассеянной волны можно вычислить вероятность рассеяния. Конечно, в действительности падающая волна представляет собой пакет в том смысле, что она ограничена в пространстве и имеет конечную протяженность во времени. Однако размеры волнового пакета по сравнению с атомом настолько велики, что мы допустим ничтожную ошибку, предположив падение плоской волны бесконечной протяженности, описывающейся волновой функцией

Когда падающая волна проникает в область рассеивающего потенциала, то возникает рассеянная волна, которую мы обозначим через Полная волновая функция будет тогда равна

Так как падающий и отраженный пучки остаются стационарными, то все вероятности не зависят от времени, и поэтому полная зависящая от времени волновая функция будет равна

Если при потенциал стремится к нулю, как это обычно бывает, то будет равна просто кинетической энергии частиц падающего пучка:

Уравнение Шредингера будет иметь вид

Замечаем, что тогда

Поскольку предполагается, что потенциальная энергия равна нулю при то частица свободно движется при больших значениях Так как падающая волна уже представлена множителем то функция дает лишь расходящийся поток. Поэтому функция должна асимптотически приближаться к выражению

Это соответствует наиболее общей возможной форме расходящейся волны. Амплитуда является функцией что указывает на зависимость интенсивности рассеянной волны от угла рассеяния. Характер рассматриваемой волны показан на рис. 104.

Наиболее общее асимптотическое решение уравнения Шредингера при когда имеет вид

Но последний член соответствует сходящейся волне. Хотя такая волна и возможна, практически она никогда не реализуется. Вместо этого мы имеем только падакнцую и расходящуюся волны, следовательно,

Чтобы получить поперечник рассеяния, вычислим прежде всего падающий поток частиц. В падающем пучке плотность вероятности равна (так как ). Тогда падающий поток на единицу площади будет . В рассеянном пучке плотность равна тогда расходящийся поток на единицу площади будет На сфере (которая предполагается очень большой по сравнению с размерами атома) элемент площади равен где элемент телесного угла. Тогда поток в элементе телесного угла равен

Однако по Определению пп. 3 и 6 поперечное сечение численно равно вероятности того, что частица внутри пучка с сечением единичной площади отклонится в элемент телесного угла Поток отклоненных частиц равен где - падающий поток. Тогда поперечное сечение равно отношению потока отклоненных частиц к потоку падающих частиц. Из уравнения (21.44) получаем

Так как в настоящей задаче то выражение (21.45а) упрощается: