39. Метод парциальных волн (Рэлей, Факсен и Хольтсмарк).

Когда борновское приближение перестает быть законным, необходимо воспользоваться более точным методом для решения задачи рассеяния. Одним из таких методов, применимым к сферически симметричному потенциалу, является разложение волновой функции в ряд по шаровым функциям, умноженным на радиальные волновые функции. Таким методом мы пользовались уже, например, в задаче об атоме водорода. Этот метод первоначально применил Рэлей (см. [57], стр. 323) для рассеяния звуковых волн, а позже Факсен и Хольтсмарк (см. [28], гл. 2) для рассеяния волн Шредингера.

Мы начнем с замечания, что волновая функция обладает цилиндрической симметрией относительно оси вдоль направления падающей волны, которую мы примем за направление оси Тогда волновую функцию можно разложить в ряд по так называемым полиномам Лежандра. Заметим, что нет нужды вводить соответствующие функции Лежандра, так как обладает цилиндрической симметрией и потому не является функцией Таким образом, аналогично результату гл. 15, п. 1 получаем

Каждый член этого разложения называется «парциальной волной», соответствующей отдельному значению Функции удовлетворяют дифференциальным уравнениям (15.26). Удобно ввести функцию

Тогда волновое уравнение примет вид (15.3)

Для решения задачи рассеяния нужно прежде всего решить написанный выше ряд уравнений при граничных условиях (см. гл. 15, п. 3)