29. Введение четности.

Удобно, особенно для сложных систем, содержащих много частиц, ввести классификацию волновых функций по свойству, называемому «четностью». Четность волновой функции зависит от того, будет ли она менять свой знак, если значения всех координат каждой частицы заменить отрицательными значениями. Для исследования эффекта четности надо положить таким образом:

где координаты первой частицы и т. д. Это можно сокращенно записать в виде где вектор, определяющий положение частицы. В общем случае нет специального соотношения между Однако для системы, в которой потенциальная функция не изменяется при замене на — (т. е. когда ), можно показать, что все собственные состояния можно сгруппировать по тому признаку, каким из двух следующих свойств они обладают:

Говорят, что первый тип обладает свойством четности, а второй — нечетности.

Для доказательства возможности этой классификации рассмотрим невырожденную собственную функцию гамильтониана Кинетическая энергия не изменяется, если заменить на Так как мы предположили, что V тоже не изменяется при такой операции, то ясно, что не изменяется в любом случае. Заменяя на в написанном выше выражении, получаем

Следовательно, если собственная функция с энергией то таковой же будет Но если энергетический уровень не вырожден, то существует только одна такая собственная функция. Это означает, что где С — какая-то постоянная величина. Для определения С заменим опять на в уравнении получаем Таким образом, Следовательно, каждая невырожденная собственная функция должна обладать или свойством или Однако следует заметить, что эти свойства требуются, только когда

Если энергетические уровни вырождены, то приводимые рассуждения не обязательно выполняются. Однако можно показать, что и тогда всегда возможно классифицировать состояния по их четности, но мы здесь этого делать не будем.

Примеры. Для одной частицы с радиально симметричным потенциалом поэтому каждое собственное состояние должно иметь определенную четность. Согласно уравнению (15.1), собственные функции имеют вид , где квантовое число полного момента количества движения, магнитное квантовое число. Так как по определению положительная величина, то член не изменяется при замене х на Однако член может как изменить, так и не изменить знак. Например, изменяет знак, если заменить на Однако не изменяет знака. Можно показать, что функция нечетна при нечетных и четна при четных

Задача 3. Доказать последнее утверждение.

Четность полезна как способ классификации состояний, так как это понятие применимо также и в случае многих частиц, и в случае потенциала, не обладающего сферической симметрией. Например, в симметричной двухатомной молекуле потенциал не изменяется, если заменить на при условии, что отсчитывается от центра молекулы. Четность продолжает оставаться истинно квантовым свойством, а момент количества движения уже не является таковым, потому что гамильтониан этой системы молекул не обладает сферической симметрией.