19. Волновое уравнение для свободной частицы.

Теперь можно получить дифференциальное уравнение в частных производных, которому должна удовлетворять функция Для этого раньше всего продифференцируем равенство (3.28) по времени. Получаем

Теперь вычислим выражение

Сравнивая написанные выше выражения, получаем следующее дифференциальное уравнение в частных производных:

Это уравнение есть следствие соотношений де Бройля и классического соотношения справедливого только для свободной частицы. Чтобы перейти к более общему случаю частицы, находящейся под действием внешних сил, следует воспользоваться классическим соотношением где потенциальная энергия. Это будет сделано в части II. Выведенное так уравнение было впервые получено Шрёдингером и называется уравнением Шрёдингера. Частным случаем его является уравнение (3.29).

Практически вся волновая теория заключена в волновом уравнении, если мы знаем, как интерпретировать волновую функцию Например, одним из его следствий является сохранение энергии и импульса свободной частицы. Для показа этого заметим, что функция является решением волнового уравнения, если Но так как и то получаем хорошо известное классическое соотношение. Так как ни ни не меняются со временем, то отсюда следует, что также остаются постоянными. Позже мы увидим, что если существует много частиц, взаимодействующих друг с другом, то волновое уравнение и в этом случае тоже будет иметь своим следствием сохранение полной и энергии импульса системы. Таким образом, этот пример показывает, что те классические динамические законы, которые непосредственно переносятся в квантовую механику, содержатся в волновом уравнении.

Волновое уравнение дает непрерывное и динамическое предсказание того, что случится с волновой функцией. Но волновая функция дает лишь вероятность нахождения электрона в данном месте. В классическом пределе наблюдение настолько грубое, что различие между вероятным и действительным поведением практически никогда не может быть обнаружено. Следовательно, волновое уравнение также определяет движение в классическом пределе. Это более непосредственно видно из следующего. Групповая скорость волнового пакета, равная зависит от связи между Но, как мы видели, последняя может быть получена из рассмотрения решений волнового уравнения в виде

В более общем случае волновое уравнение определяется вероятностью любых процессов, которые могут произойти с электроном. Поэтому оно играет ту же фундаментальную роль в квантовой теории, какую в классической теории играют уравнения движения. Неудивительно, что при решении любой частной квантовотеоретической задачи (например, атом водорода или гармонический осциллятор) первым шагом является отыскание правильного выражения волнового уравнения для рассматриваемой системы. В части II мы увидим, как это надо делать в общем случае.