14. Вырожденные операторы.
Если более чем одна независимая собственная функция принадлежит данному собственному значению, то оператор называется вырожденным для этого собственного значения. Например, собственные значения оператора 
имеют двукратное вырождение в одномерной задаче и бесконечную кратность вырождения в трехмерном пространстве.
Если только одна линейно независимая собственная функция принадлежит каждому собственному значению оператора, то последний
называется невырожденным. Например, 
невырожденный оператор.
3) Собственная функция оператора х. Мы видели, что операторы 
и 
имеют довольно простые собственные функции в координатном пространстве. Что можно сказать об операторе 
Ясно, что если взять любую непрерывную функцию от х, то оператор х умножает ее на переменное число, и потому по определению никакая непрерывная функция от х не может быть собственной функцией оператора х. Нам нужна такая функция, которая умножается на то же самое число независимо от величины х, т. е.
где С — постоянная. Единственная функция, удовлетворяющая этому условию, должна равняться нулю повсюду, кроме точки 
Эта функция весьма необычна, ее лучше рассматривать как предел обычной. В качестве примера можно взять функцию, изображенную на рис. 26.
Рис. 26.
Функция равна нулю везде, кроме области 
где она равна 
. Чтобы нормировать ее к единице, полагаем
или
При 
поэтому в пределе функция 
равна нулю повсюду, кроме точки 
и равна бесконечности при 
но при этом стремится к бесконечности таким образом, что волновая функция остается нормированной.
Есть много различных видов функций, приближающихся к собственным функциям оператора х. Например, рассмотрим предел нормированной функции Гаусса
При 
но 
независимо от 
При малых 
эта функция стремится к функции с острым пиком шириной 
и высотой 
Задача 10. Показать, что 
стремится к собственной функции х при 
Вычислить константу А так, чтобы нормировать вероятность.
