2. Вывод соотношения неопределенностей для случая электронов.

Чтобы доказать соотношение неопределенностей для электронов, обратимся к уравнению (3.16), которое дает связь между интервалом координат и интервалом волновых чисел для волнового пакета

Неравенство (5.4) является общим свойством волн и не ограничивается случаем квантовой теории. Однако соотношение неопределенностей вытекает из него, если принять во внимание следующую квантовомеханическую трактовку величин, входящих в неравенство (5.4):

1) Связь между волновыми числами и импульсами дается уравнением де Бройля что не имеет места в классической волновой теории. Например, классическая электромагнитная волна с заданным волновым числом может обладать произвольной амплитудой, а следовательно и произвольным импульсом (см. гл. 2, п. 7).

2) Независимо от того, измеряется ли импульс или местоположение электрона, в результате всегда получается некоторое определенное число (см. гл. 3, п. 13, а также гл. 4, п. 8). В силу соотношения де Бройля, определенному импульсу соответствует определенное волновое число . С другой стороны, в классическом

волновом пакете мы всегда имеем дело с интервалами местоположений и волновых чисел.

3) Волновая функция определяет только вероятность данного местоположения, а компонента Фурье только вероятность данного импульса. Это означает, что невозможно предсказать или зафиксировать точное местоположение электрона внутри области в которой функция достаточно велика, и что невозможно предсказать или точно измерить импульс электрона внутри интервала в котором функция достаточно велика. Таким образом, является мерой минимальной неопределенности или отсутствия полного классического детерминизма в определении положения, которая может быть приписана электрону; аналогично есть мера минимальной неопределенности или отсутствия полного классического детерминизма в определении импульса электрона.

Из неравенства (5.4), в силу уравнения вытекает соотношение неопределенностей

Аналогичным путем можно получить соотношение неопределенностей энергии — времени, исходя из выражения где интервал времени, необходимый для «того, чтобы волновой пакет прошел через данную точку пространства, а интервал значений угловых частот, присутствующих в этом пакете. Из соотношения де Бройля получаем где неопределенность в определении энергии, а неопределенность определения времени, в течение которого электрон проходит через данную точку пространства.