21. Применение к построению орбит.

Некоторые из результатов этой задачи можно применить для определения волновых функций, представляющих орбиты при больших При было показано в п. 15) орбита лежит приблизительно в экваториальной плоскости, по крайней мере настолько, насколько соотношение неопределенности позволяет определить ее. Поставим теперь вопрос: какая волновая функция определяет орбиту, отклоняющуюся от экваториальной плоскости? Как уже известно, функции не могут определять такой орбиты, поскольку они представляют состояние, в котором совершенно неизвестны соответствующие величины Отклоненную орбиту можно легко построить, если взять орбиту в экваториальной плоскости, а затем повернуть оси координат на некоторый угол Тогда в соответствии с уравнением (14.75) волновая функция после поворота равна

Таким образом, отклоненная орбита определяется линейной комбинацией сферических гармоник, точное значение которой зависит от Мы не будем здесь подробно рассматривать значения С, а просто укажем, что когда С рассчитаны для случая ббльших I, то получается волновой пакет сферических гармоник, имеющий острый максимум для того значениятк, которое соответствует проекции на ось Но для определения направления плоскости орбиты числу надо придать некоторую неопределенность в том смысле, что мы определяем интервал величин Однако в классическом пределе этим интервалом величин можно пренебречь, поэтому кажется, что система имеет определенное значение каждой составляющей момента и, следовательно, определенное направление плоскости, в которой лежит орбита.

Задача 10. Используя свойства ортогональности и нормировки , получить разложение функции по полиномам Лежандра. Получить соответствующее разложение по сферическим гармоникам.

Мы можем резюмировать изложенное, сказав, что электрон с определенным моментом количества движения в квантовой теории сильно отличается от электрона в классическом представлении. В квантовой теории он может иметь определенный момент только в том случае, если его волновая функция соответствующим образом зависит от угла, т. е. от Это аналогично тому, что электрон может иметь определенный импульс только в том случае, если его волновая функция соответствующим образом зависит от координаты, т. е. представляется в виде Поэтому бессмысленно рассматривать электрон как объект, у которого одновременно определены угол и

момент. Последнее снова иллюстрирует волновую структуру материи, которую нельзя понять на основе представления о материи как совокупности классических частиц.

Когда угол измерен, действие аппаратуры превращает систему из объекта, подобного волне (с определенным моментом количества движения и неопределенным углом), в объект, подобный частице (с определенным углом и неопределенным моментом количества движения). С другой стороны, если вслед за этим измерен момент количества движения, система вновь превращается в объект, подобный волне (см. гл. 6, пп. 4—10).