10. Связанные состояния.

Согласно классической теории, частица, для которой должна быть заперта внутри потенциальной ямы, так как энергия ее недостаточна, чтобы выбраться из ямы. Появляются ли какие-нибудь связанные состояния и при квантовой трактовке этой задачи? Покажем, что могут быть такие связанные состояния. В общем случае, однако, возможные энергии этих связанных состояний не непрерывны, как в классической теории, а дискретны. Это противоречит также и квантовым результатам для положительных энергий, где, как мы видели, не накладывается никаких ограничений на величину для которых существуют решения волнового уравнения, так что в этом случае получается непрерывный энергетический спектр.

Начнем решение для собственных функций связанного состояния и соответствующих им собственных значений. В области, где решение является линейной комбинацией вещественных экспоненциальных функций, поэтому, чтобы иметь конечное значение функции нужно выбрать экспоненциальные функции, которые убывают с возрастанием х. Следовательно,

где отрицательная энергия связанного состояния. Внутри прямоугольной потенциальной ямы волновая функция имеет вид (см. рис. 40)

где Условия непрерывности (в точке а) приводят к уравнениям

Решая их относительно получаем

Далее необходимо, чтобы в точке а решение непрерывно смыкалось с экспоненциальной функцией, которая убывает при Это не будет в общем случае, если соответствующая энергия не имеет подходящую величину. Чтобы найти, когда такое решение возможно, мы напишем (для

Условиями непрерывности являются

Разделив второе из этих уравнений на первое, получим

Для упрощения последнего выражения введем обозначения

Мы получим

Вышеприведенное равенство предполагает, что где любое целое число (положительное или отрицательное). Решение для дает

Выражая через получим

Это трансцендентное уравнение определяет В тех случаях, когда решение существует, мы получаем возможный энергетический уровень. Уравнение, в общем случае, должно быть решено численно или графически. Однако можно получить некоторое приближенное представление о местоположении энергетических уровней. Для этого перепишем уравнения, произведя подстановку

Это дает

После того, как мы решим это уравнение относительно можно получить из уравнения (11.64). Случай нечетное).

Необходимо найти пересечение кривой с кривой

(см. рис. 43). Заметим, что кривая для определена только для

так как по определению положительная величина, а ббльшие величины соответствуют отрицательным значениям в уравнении (11.64). Кривая для проходит через начало координат с наклоном, определяемым значениями и, наконец, уходит в бесконечность при

Пересечение кривых в точке дает лишний корень, который не соответствует физически приемлемому решению уравнения Шрёдингера.

Рис. 43.

Задача 7. Доказать подстановкой уравнения (11.57а) в уравнение Шрёдингера, что корень не приводит к правильному решению.

Если то нет других пересечений кривых и поэтому нет решений для связанных состояний. Легко проверить, что условием существования решений для связанных состояний является

или

Заметим, что мы всегда получаем положительные и отрицательные корни парами. Но так как величина зависит только от (см. уравнение (11.64)), то каждая пара приводит только к одному значению

Случай четное).

Подобная же трактовка может быть дана и для случая четного Строим кривую и находим ее пересечение с кривой

(см. рис. 44).

Первое решение получается, когда следующее — когда По крайней мере одно решение этого типа четное) может поэтому существовать, как бы ни был мал потенциал Для существования двух решений необходимо, чтобы или больше тем больше число возможных решений.

Рис. 44.

Задача 8. Предположим, что см. Найти энергетические уровни (численно или графически) для протона в такой потенциальной яме. Найти затем то же для -частицы с массой